はじめに
連続時間信号をAD変換した信号のDTFTの周波数スペクトラムを計算し、エイリアシングが生じない条件を導く。量子化誤差は無視する。
本記事の内容は下記の資料にも記した。
Release v0.11.1 · motchy869/Signal-Processing-Memorandum (github.com) 「エイリアシングとの関係」
\[
% to cope with definition mismatch between MathJax and LaTeX
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\newcommand{\eqcolon}{\mathrel{=:}}
% general purpose
\newcommand{\ctext}[1]{\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{#1}}}}
% mathematics
% general purpose
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\DeclarePairedDelimiterX{\verts}[1]{|}{|}{#1}
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\DeclarePairedDelimiterX{\setComprehension}[2]{\lbrace}{\rbrace}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
\newcommand{\as}{{\quad\textrm{as}\quad}}
\newcommand{\st}{{\textrm{ s.t. }}}
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% set theory
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% number theory
\newcommand{\abs}[1]{\verts*{#1}}
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\newcommand{\GaloisField}{\mathrm{GF}}
% real analysis
\newcommand{\NapierE}{\mathrm{e}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} % sign function
\newcommand{\rect}{\operatorname{rect}} % rectangular function
\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}} % closure of a set
\newcommand{\img}{\operatorname{im}} % image of a function
\newcommand{\dom}{\operatorname{dom}} % domain of a function
\newcommand{\LittleO}[2]{\underset{#1}{o}\parens*{#2}} % little-o notation
\newcommand{\norm}[1]{\Verts*{#1}} % norm of a vector or function
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\sinc}{\operatorname{sinc}}
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\newcommand{\erf}{\operatorname{erf}}
% inverse trigonometric functions
\newcommand{\asin}{\operatorname{Sin}^{-1}}
\newcommand{\acos}{\operatorname{Cos}^{-1}}
\newcommand{\atan}{\operatorname{Tan}^{-1}}
% derivative
\newcommand{\deriv}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3}#1}{\mathrm{d}{#2}^{#3}}}
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\newcommand{\partDerivIIHeteroLong}[3]{{\frac{\mathrm{\partial}^2}{\partial#2\mathrm{\partial}#3}#1}}
% integral
\newcommand{\pv}{{\textrm{ p.v. }}}
\newcommand{\integrate}[5]{\int_{#1}^{#2}{#3}{\;\mathrm{d}^{#4}}#5}
\newcommand{\LebInteg}[4]{\int_{#1} {#2} {#3}\parens*{\;\mathrm{d}#4}}
% complex analysis
\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Log}{\operatorname{Log}}
% Laplace transform
\newcommand{\LPLC}{\operatorname{\mathcal{L}}}
\newcommand{\ILPLC}{\operatorname{\mathcal{L}}^{-1}}
% discrete fourier transform
\newcommand{\DFT}{\operatorname{DFT}}
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% Z-transform
\newcommand{\ZTrans}{\operatorname{\mathcal{Z}}}
\newcommand{\IZTrans}{\operatorname{\mathcal{Z}}^{-1}}
\newcommand{\SSZTrans}{\underset{\text{s.s.}}{\mathcal{Z}}} % single-sided Z-transform
% linear algebra
\newcommand{\bm}[1]{{\boldsymbol{#1}}}
\newcommand{\vecEntry}[2]{\bm{#1}\bracks*{#2}}
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\newcommand{\matPart}[5]{\matEntry{#1}{#2:#3}{#4:#5}}
\newcommand{\minor}[3]{{#1}\bracks*{\setminus #2}\bracks*{\setminus #3}} % the minor of a matrix: row #2 and column #3 deleted
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\transpose}[1]{{#1}^\top}
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\newcommand{\inProd}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle}
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% vector
% unit vector
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% graph theory
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% probability theory
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\newcommand{\cind}[2]{\ind{#1\left| #2\right.}} % conditional indicator function
\renewcommand{\Pr}{\operatorname{Pr}}
\DeclarePairedDelimiterX{\cPrParens}[2]{(}{)}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
\newcommand{\Ev}{\operatorname{E}} % expected value
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
% physics
% unit of measurement
\newcommand{\second}{\text{s}}
\newcommand{\hertz}{\text{Hz}}
\newcommand{\decibel}{\text{dB}}
% signal processing
% Discrete Time Fourier Transform
\newcommand{\DTFT}{\operatorname{DTFT}}
\newcommand{\IDTFT}{\operatorname{IDTFT}}
% computer science
% fixed-point arithmetic
\newcommand{\IntPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{i}} % 0.140ex is half of the default thickness. See: [How to make underbracket thinner](https://tex.stackexchange.com/questions/559078/how-to-make-underbracket-thinner)
\newcommand{\DecPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{d}}
\newcommand{\TotalBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}}
\newcommand{\Rat}{\operatorname{Rat}} % Maps a fixed-point number to a corresponding rational number.
% programming
\newcommand{\plpl}{\mathrel{++}}
\newcommand{\pleq}{\mathrel{+}=}
\newcommand{\asteq}{\mathrel{*}=}
\]
\[
\newcommand{\Ts}{T_\text{s}}
\newcommand{\fs}{f_\text{s}}
\]
計算
連続時間信号$f:\realNumbers\to\complexNumbers$をサンプリング周期$\Ts$でサンプリングした信号$\tilde{f}:\naturalNumbers\to\complexNumbers$のDTFTを求める。$f$のFourier変換を$F$とする。
\[ \begin{align*} \DTFT\parens*{\tilde{f}}\parens*{\omega} &= \sum_{n=-\infty}^\infty f(n\Ts)\NapierE^{-i\omega\Ts n} = \sum_{n=-\infty}^\infty\parens*{\integrate{-\infty}{\infty}{f(t)\delta(t-n\Ts)}{}{t}}\exp(-i\omega\Ts n) \\ &= \integrate{-\infty}{\infty}{f(t)\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-n\Ts)\exp(-i\omega\Ts n)}{}{t} = \integrate{-\infty}{\infty}{f(t)\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-n\Ts)\exp(-i\omega t)}{}{t} \\ &= \integrate{-\infty}{\infty}{f(t)\exp(-i\omega t)\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-n\Ts)}{}{t} \\ &= \integrate{-\infty}{\infty}{f(t)\exp(-i\omega t)\frac{1}{\Ts}\sum_{n=-\infty}^\infty \exp\parens*{i t n\frac{2\pi}{\Ts}}}{}{t} \quad (※1) \\ &= \frac{1}{\Ts}\sum_{n=-\infty}^\infty\integrate{-\infty}{\infty}{f(t)\exp(-i\omega t)\exp\parens*{i t n\frac{2\pi}{\Ts}}}{}{t} \\ &= \frac{1}{\Ts}\sum_{n=-\infty}^\infty\integrate{-\infty}{\infty}{f(t)\exp(\bracks*{-i\parens*{\omega – n\frac{2\pi}{\Ts}}t})}{}{t} \\ &= \frac{\sqrt{2\pi}}{\Ts}\sum_{n=-\infty}^\infty F\parens*{\omega – n\frac{2\pi}{\Ts}} \end{align*} \]※1 信号処理 Tips – 門前の小僧 (motchy869.com)「指数関数とデルタ関数の無限級数」を用いた
考察
このように、$\DTFT\parens*{\tilde{f}}$は$F$をスケーリングして$2\pi/\Ts$周期で重ね合わせたものになる。$f$が帯域制限信号である、すなわちある$\omega_0\geq 0$が存在して$F$の台が$[-\omega_0,\omega_0]$の範囲に収まるとき、$\Ts$を十分に小さくとれば、$\DTFT\parens*{\tilde{f}}$の一意に区別可能な角周波数の区間$[-\pi/\Ts,\pi/\Ts]$で$\DTFT\parens*{\tilde{f}}$は$(\sqrt{2\pi}/\Ts)F$と一致する。逆に$\Ts$が大きいとき、$[-\pi/\Ts,\pi/\Ts]$の区間の端部付近で$F(\omega+2\pi/\Ts)$や$F(\omega-2\pi/\Ts)$が0でない値をとる。つまりサンプリングする前の連続時間信号には存在しなかった高周波成分が現れる。この現象を `Aliasing’ (エイリアシング)と呼ぶ。
エイリアシングが生じない条件は、$-\omega_0 + 2\pi/\Ts > \omega_0$すなわち$\Ts<\pi/\omega_0$である。周波数で表現するなら、帯域制限区間の端部の周波数$f_0 := \omega_0/(2\pi)$, サンプリング周波数$\fs := 1/\Ts$を用いて$\fs>2f_0$である。
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