はじめに
信号処理でしばしば使われるテクニックについて記しておく。
\[
% to cope with definition mismatch between MathJax and LaTeX
\newcommand{\coloneq}{\mathrel{:=}}
\newcommand{\eqcolon}{\mathrel{=:}}
% general purpose
\newcommand{\ctext}[1]{\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{#1}}}}
% mathematics
% general purpose
\DeclarePairedDelimiterX{\parens}[1]{\lparen}{\rparen}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\braces}[1]{\lbrace}{\rbrace}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\bracks}[1]{\lbrack}{\rbrack}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\verts}[1]{|}{|}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\Verts}[1]{\|}{\|}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\setComprehension}[2]{\lbrace}{\rbrace}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
\newcommand{\as}{{\quad\textrm{as}\quad}}
\newcommand{\st}{{\textrm{ s.t. }}}
\newcommand{\naturalNumbers}{\mathbb{N}}
\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\rationalNumbers}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\realNumbers}{\mathbb{R}}
\newcommand{\nonNegRealNumbers}{\mathbb{R}_{\geq 0}}
\newcommand{\posRealNumbers}{\mathbb{R}_{> 0}}
\newcommand{\complexNumbers}{\mathbb{C}}
\newcommand{\field}{\mathbb{F}}
\newcommand{\EuclideanSpace}{\mathbb{E}}
\newcommand{\argmax}{\operatorname*{arg~max}}
\newcommand{\argmin}{\operatorname*{arg~min}}
% set theory
\newcommand{\range}[2]{\braces*{#1,\dotsc,#2}}
\renewcommand{\complement}{\mathrm{c}}
\newcommand{\ind}[2]{\mathbbm{1}_{#1}\parens*{#2}}
\newcommand{\indII}[1]{\mathbbm{1}\braces*{#1}}
% number theory
\newcommand{\abs}[1]{\verts*{#1}}
\newcommand{\combi}[2]{{_{#1}\mathrm{C}_{#2}}}
\newcommand{\perm}[2]{{_{#1}\mathrm{P}_{#2}}}
\newcommand{\GaloisField}{\mathrm{GF}}
% real analysis
\newcommand{\NapierE}{\mathrm{e}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} % sign function
\newcommand{\rect}{\operatorname{rect}} % rectangular function
\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}} % closure of a set
\newcommand{\img}{\operatorname{im}} % image of a function
\newcommand{\dom}{\operatorname{dom}} % domain of a function
\newcommand{\LittleO}[2]{\underset{#1}{o}\parens*{#2}} % little-o notation
\newcommand{\norm}[1]{\Verts*{#1}} % norm of a vector or function
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\sinc}{\operatorname{sinc}}
\newcommand{\nrmSinc}{\operatorname{nsinc}} % normalized sinc function
\newcommand{\erf}{\operatorname{erf}}
% inverse trigonometric functions
\newcommand{\asin}{\operatorname{Sin}^{-1}}
\newcommand{\acos}{\operatorname{Cos}^{-1}}
\newcommand{\atan}{\operatorname{Tan}^{-1}}
% derivative
\newcommand{\deriv}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3}#1}{\mathrm{d}{#2}^{#3}}}
\newcommand{\derivLong}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3}}{\mathrm{d}{#2}^{#3}}#1}
\newcommand{\partDeriv}[3]{\frac{\mathrm{\partial}^{#3}#1}{\mathrm{\partial}{#2}^{#3}}}
\newcommand{\partDerivLong}[3]{\frac{\mathrm{\partial}^{#3}}{\mathrm{\partial}{#2}^{#3}}#1}
\newcommand{\partDerivIIHetero}[3]{\frac{\mathrm{\partial}^2#1}{\partial#2\mathrm{\partial}#3}}
\newcommand{\partDerivIIHeteroLong}[3]{{\frac{\mathrm{\partial}^2}{\partial#2\mathrm{\partial}#3}#1}}
% integral
\newcommand{\pv}{{\textrm{ p.v. }}}
\newcommand{\integrate}[5]{\int_{#1}^{#2}{#3}{\;\mathrm{d}^{#4}}#5}
\newcommand{\LebInteg}[4]{\int_{#1} {#2} {#3}\parens*{\;\mathrm{d}#4}}
% complex analysis
\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Log}{\operatorname{Log}}
% Laplace transform
\newcommand{\LPLC}{\operatorname{\mathcal{L}}}
\newcommand{\ILPLC}{\operatorname{\mathcal{L}}^{-1}}
% discrete fourier transform
\newcommand{\DFT}{\operatorname{DFT}}
\newcommand{\IDFT}{\operatorname{IDFT}}
% Z-transform
\newcommand{\ZTrans}{\operatorname{\mathcal{Z}}}
\newcommand{\IZTrans}{\operatorname{\mathcal{Z}}^{-1}}
\newcommand{\SSZTrans}{\underset{\text{s.s.}}{\mathcal{Z}}} % single-sided Z-transform
% linear algebra
\newcommand{\bm}[1]{{\boldsymbol{#1}}}
\newcommand{\vecEntry}[2]{\bm{#1}\bracks*{#2}}
\newcommand{\matEntry}[3]{#1\bracks*{#2}\bracks*{#3}}
\newcommand{\matPart}[5]{\matEntry{#1}{#2:#3}{#4:#5}}
\newcommand{\minor}[3]{{#1}\bracks*{\setminus #2}\bracks*{\setminus #3}} % the minor of a matrix: row #2 and column #3 deleted
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\transpose}[1]{{#1}^\top}
\newcommand{\HerConj}[1]{{#1}^*}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\inProd}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle}
\newcommand{\dotProd}[2]{#1 \cdot #2}
\newcommand{\HadamardProd}{\odot}
\newcommand{\HadamardDiv}{\oslash}
\newcommand{\vecSpan}{\operatorname{span}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
% vector
% unit vector
\newcommand{\vix}{\bm{i}_x}
\newcommand{\viy}{\bm{i}_y}
\newcommand{\viz}{\bm{i}_z}
% graph theory
\newcommand{\neighborhood}{\mathcal{N}}
% probability theory
\newcommand{\PDF}{\operatorname{PDF}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Beta}{\operatorname{Beta}}
\newcommand{\ExpDist}{\operatorname{ExpDist}}
\newcommand{\ErlangDist}{\operatorname{ErlangDist}}
\newcommand{\PoissonDist}{\operatorname{PoissonDist}}
\newcommand{\GammaDist}{\operatorname{Gamma}}
\newcommand{\cind}[2]{\ind{#1\left| #2\right.}} % conditional indicator function
\renewcommand{\Pr}{\operatorname{Pr}}
\DeclarePairedDelimiterX{\cPrParens}[2]{(}{)}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
\newcommand{\Ev}{\operatorname{E}} % expected value
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
% physics
% unit of measurement
\newcommand{\second}{\text{s}}
\newcommand{\hertz}{\text{Hz}}
\newcommand{\decibel}{\text{dB}}
% signal processing
% Discrete Time Fourier Transform
\newcommand{\DTFT}{\operatorname{DTFT}}
\newcommand{\IDTFT}{\operatorname{IDTFT}}
% computer science
% fixed-point arithmetic
\newcommand{\IntPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{i}} % 0.140ex is half of the default thickness. See: [How to make underbracket thinner](https://tex.stackexchange.com/questions/559078/how-to-make-underbracket-thinner)
\newcommand{\DecPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{d}}
\newcommand{\TotalBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}}
\newcommand{\Rat}{\operatorname{Rat}} % Maps a fixed-point number to a corresponding rational number.
% programming
\newcommand{\plpl}{\mathrel{++}}
\newcommand{\pleq}{\mathrel{+}=}
\newcommand{\asteq}{\mathrel{*}=}
\]
\[
\newcommand{\Ts}{T_\text{s}}
\]
用語
正式名称をよく忘れる用語
- 振幅周波数特性 (amplitude frequency characteristic)
（「周波数振幅特性」は間違い） - エネルギー・スペクトラム密度 (energy spectrum density)
（「エネルギー・スペクトラム」は間違い）
IQ 信号の名称。通信でしばしば現れる次の信号を考える：
$x(t) = I(t)\cos(\omega t+\phi) – Q(t)\sin(\omega t+\phi)$
各成分は次の名称で呼ばれる。
- $I(t)$：ベースバンド同相成分
- $Q(t)$：ベースバンド直交成分
- $\cos(\omega t+\phi)$：搬送波同相成分
- $-\sin(\omega t+\phi)$：搬送波直交成分
単位
表記揺れが起こり易い単位について自分の方針をメモしておく。
- sample per second: Sa/s
- symbol per second: Sym/s
指数関数の無限積分
\[ \integrate{-\infty}{\infty}{e^{i\omega t}}{}{t} = 2\pi\delta(\omega) \quad (\omega\in\realNumbers) \]
指数関数とデルタ関数の無限級数
\[ \sum_{n=-\infty}^\infty\exp(i\omega n\Ts) = \frac{2\pi}{\Ts}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta\parens*{\omega-n\frac{2\pi}{\Ts}} \quad (\omega\in\realNumbers,\;Ts>0) \]
Fourier 変換
定義
\[ \mathcal{F}(f) \coloneqq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\integrate{-\infty}{\infty}{f(t)\NapierE^{i\omega t}}{}{t} \]
積の Fourier 変換
\[ \mathcal{F}(fg)(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}(F*G)(\omega) \]
畳み込みの Fourier 変換
\[ \mathcal{F}(f*g)(\omega) = \sqrt{2\pi}F(\omega)G(\omega) \]
Gauss関数のFourier変換
$A,\sigma>0,\;f(t)=\exp\parens{-t^2/(2\sigma^2)}$ のとき $\mathcal{F}(f)(\omega) = A\sigma\exp\parens{-\sigma^2 \omega^2 /2}$
0次ホールド信号のFourier変換
\[
\newcommand{\Ts}{T_\text{s}}
\]
連続時間信号 $f:\realNumbers\to\complexNumbers$ とサンプリング周期 $\Ts$，区間 $[0,\Ts]$ の単位ステップ関数 $u:\realNumbers\to\braces{0,1}$ を考える。
$f$ をサンプリング周期 $\Ts$ で0次ホールドした結果を $g$ すなわち
\[ g(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(n\Ts)u(t-n\Ts) \]
とすると、その Fourier 変換 $G$ は次式である。
\[ G(\omega) = \frac{\Ts}{\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i\omega\Ts/2}\parens*{\sinc \frac{\omega\Ts}{2}}\sum_{n=-\infty}^\infty f(n\Ts)\exp\parens*{-i\omega n\Ts} \]
DFT
窓関数で高周波成分が減衰する理由（DFT 同士の畳み込みの観点から）
時間領域で見れば直観的に明らかであるが，ここでは敢えて元の信号 x の DFT と窓関数 w の DFT の巡回畳み込みの観点で納得する考え方を示す。
x を直線成分（繰り返し境界で不連続）とそれ以外（繰り返し境界で連続）の和で表す。直線成分は sin の級数の和なので x の DFT の N/2 付近は虚数が支配的となる。よって DFT(x) と DFT(w) との巡回畳み込みをとると N/2 付近は消えやすい。
FIR フィルタの遅延の名称
FIR フィルタを ASIC, FPGA で実現するときに，複数種類の遅延が生じる。筆者は次のように呼び分けることにしている。
- group delay: 群遅延。係数のピークのインデクスと等しい
- pipeline latency: レジスタ・パイプラインに由来する遅延
- total latency: 上記 1, 2 の合成
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