はじめに
離散時間信号をアンダー・サンプリングした結果のDTFTと元の離散時間信号のDTFTの関係を明らかにし、エイリアシングが生じない条件を導く。
本記事の内容は下記の資料にも記した。
Release v0.11.1 · motchy869/Signal-Processing-Memorandum (github.com)
「アンダー・サンプリングされた信号のDTFT」
\[
% to cope with definition mismatch between MathJax and LaTeX
\newcommand{\coloneq}{\mathrel{:=}}
\newcommand{\eqcolon}{\mathrel{=:}}
% general purpose
\newcommand{\ctext}[1]{\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{#1}}}}
% mathematics
% general purpose
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% set theory
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\newcommand{\indII}[1]{\mathbbm{1}\braces*{#1}}
% number theory
\newcommand{\abs}[1]{\verts*{#1}}
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\newcommand{\perm}[2]{{_{#1}\mathrm{P}_{#2}}}
\newcommand{\GaloisField}{\mathrm{GF}}
% real analysis
\newcommand{\NapierE}{\mathrm{e}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} % sign function
\newcommand{\rect}{\operatorname{rect}} % rectangular function
\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}} % closure of a set
\newcommand{\img}{\operatorname{im}} % image of a function
\newcommand{\dom}{\operatorname{dom}} % domain of a function
\newcommand{\LittleO}[2]{\underset{#1}{o}\parens*{#2}} % little-o notation
\newcommand{\norm}[1]{\Verts*{#1}} % norm of a vector or function
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1\right\rfloor}
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\newcommand{\sinc}{\operatorname{sinc}}
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% inverse trigonometric functions
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% derivative
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\newcommand{\partDerivLong}[3]{\frac{\mathrm{\partial}^{#3}}{\mathrm{\partial}{#2}^{#3}}#1}
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\newcommand{\partDerivIIHeteroLong}[3]{{\frac{\mathrm{\partial}^2}{\partial#2\mathrm{\partial}#3}#1}}
% integral
\newcommand{\pv}{{\textrm{ p.v. }}}
\newcommand{\integrate}[5]{\int_{#1}^{#2}{#3}{\;\mathrm{d}^{#4}}#5}
\newcommand{\LebInteg}[4]{\int_{#1} {#2} {#3}\parens*{\;\mathrm{d}#4}}
% complex analysis
\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Log}{\operatorname{Log}}
% Laplace transform
\newcommand{\LPLC}{\operatorname{\mathcal{L}}}
\newcommand{\ILPLC}{\operatorname{\mathcal{L}}^{-1}}
% discrete fourier transform
\newcommand{\DFT}{\operatorname{DFT}}
\newcommand{\IDFT}{\operatorname{IDFT}}
% Z-transform
\newcommand{\ZTrans}{\operatorname{\mathcal{Z}}}
\newcommand{\IZTrans}{\operatorname{\mathcal{Z}}^{-1}}
\newcommand{\SSZTrans}{\underset{\text{s.s.}}{\mathcal{Z}}} % single-sided Z-transform
% linear algebra
\newcommand{\bm}[1]{{\boldsymbol{#1}}}
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\newcommand{\matEntry}[3]{#1\bracks*{#2}\bracks*{#3}}
\newcommand{\matPart}[5]{\matEntry{#1}{#2:#3}{#4:#5}}
\newcommand{\minor}[3]{{#1}\bracks*{\setminus #2}\bracks*{\setminus #3}} % the minor of a matrix: row #2 and column #3 deleted
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
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\newcommand{\HerConj}[1]{{#1}^*}
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\newcommand{\inProd}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle}
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\newcommand{\vecSpan}{\operatorname{span}}
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% vector
% unit vector
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% graph theory
\newcommand{\neighborhood}{\mathcal{N}}
% probability theory
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\newcommand{\ErlangDist}{\operatorname{ErlangDist}}
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\newcommand{\cind}[2]{\ind{#1\left| #2\right.}} % conditional indicator function
\renewcommand{\Pr}{\operatorname{Pr}}
\DeclarePairedDelimiterX{\cPrParens}[2]{(}{)}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
\newcommand{\Ev}{\operatorname{E}} % expected value
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
% physics
% unit of measurement
\newcommand{\second}{\text{s}}
\newcommand{\hertz}{\text{Hz}}
\newcommand{\decibel}{\text{dB}}
% signal processing
% Discrete Time Fourier Transform
\newcommand{\DTFT}{\operatorname{DTFT}}
\newcommand{\IDTFT}{\operatorname{IDTFT}}
% computer science
% fixed-point arithmetic
\newcommand{\IntPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{i}} % 0.140ex is half of the default thickness. See: [How to make underbracket thinner](https://tex.stackexchange.com/questions/559078/how-to-make-underbracket-thinner)
\newcommand{\DecPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{d}}
\newcommand{\TotalBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}}
\newcommand{\Rat}{\operatorname{Rat}} % Maps a fixed-point number to a corresponding rational number.
% programming
\newcommand{\plpl}{\mathrel{++}}
\newcommand{\pleq}{\mathrel{+}=}
\newcommand{\asteq}{\mathrel{*}=}
\]
\[
\newcommand{\Ts}{T_\text{s}}
\newcommand{\xd}{x_\text{d}}
\newcommand{\yd}{y_\text{d}}
\newcommand{\Xd}{X_\text{d}}
\newcommand{\Yd}{Y_\text{d}}
\]
主張
記号を次のように定義する。
- $R\in\naturalNumbers,\;R\geq 2$ : アンダー・サンプリング・レート
- $\xd:\integers\to\complexNumbers$ : 離散時間信号
- $\Ts>0$ : $\xd$ のサンプル周期
- $\yd$ : $\xd$ を $1/R$ にアンダー・サンプリングした離散時間信号。つまり $\yd(n) = \xd(nR)$ 。
- $\Xd$ : $\xd$ のDTFT
- $\Yd$ : $\yd$ のDTFT
このとき $Y$ は次式で表される。
\[ \Yd(\omega) = \frac{1}{R}\sum_{n=0}^{R-1} \Xd\parens*{\omega-n\frac{2\pi}{R\Ts}} \]$\Yd$ は $\omega$ に関する $2\pi/(R\Ts)$ 周期関数となり、$\Yd$ の第1 Nyquist 領域は $S_{\text{N},Y} \coloneqq [-\pi/(R\Ts),-\pi/(R\Ts))$ となる。
全体に $1/R$ が掛けられているが、振幅が $1/R$ になるわけではない。DTFT の内積計算の対象となる点の数が $1/R$ に減ったことに起因する。
$\Xd$ の台のうち $\xd$ の第1 Nyquist 領域 $S_{\text{N},X} \coloneq [-\pi/\Ts, \pi/\Ts)$ にある部分を $S_X$ とする。エイリアシングが生じない必要十分条件は $S_X\subset S_{\text{N},X}$ である。ここで言うエイリアシングとは、$S_X$ を $2\pi/(R\Ts)$ の整数倍ずつ平行移動しながら無限に複製したものを考えたとき、複製された $S_X$ 同士に重なりが生じることを指す。
導出
\[ \begin{align*} \Yd(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^\infty \yd(n)\exp(-i\omega nR\Ts) = \sum_{n=-\infty}^\infty \xd(nR)\exp(-i\omega nR\Ts) \\ &= \sum_{m=-\infty}^\infty u(m)\xd(m)\exp(-i\omega m\Ts) \quad \text{where} \quad u(m) \coloneqq \begin{cases} 1 & (m\in R\integers) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases} \\ &= \DTFT\parens*{u\xd}\parens*{\omega} \\ &= \frac{\Ts}{2\pi}\integrate{-\pi/\Ts}{\pi/\Ts}{\Xd(\omega-\tilde{\omega})U(\tilde{\omega})}{}{\tilde{\omega}} \quad \text{where} \quad U(\omega) \coloneqq \frac{2\pi}{R\Ts}\sum_{m=-\infty}^\infty\delta\parens*{\omega – n\frac{2\pi}{R\Ts}} \\ &= \frac{1}{R} \integrate{-\pi/\Ts}{\pi/\Ts}{\Xd(\omega-\tilde{\omega})\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\parens*{\tilde{\omega}-n\frac{2\pi}{R\Ts}}}{}{\tilde{\omega}} \tag{1} \end{align*} \]※1 信号処理 Tips – 門前の小僧 (motchy869.com)「指数関数とデルタ関数の無限級数」を用いた
被積分関数の $\Xd$ とデルタ関数列を次の図に示す。$\omega$ がデルタ関数列の原点からのオフセットである。
$\Xd$ が $2\pi/\Ts$ 周期関数であること、式(1)の積分範囲が $[-\pi/\Ts,\pi/\Ts]$ であること、および $R$ が偶数の場合に積分範囲の両端点で生じる、デルタ関数の中心から左右半分と $\Xd$ との積の積分を考慮すると、式(1)は次式と等しいことが解る。
\[ \begin{align*} \Yd(\omega) &= \frac{1}{R}\sum_{n=-\floor{R/2}}^{\floor{R/2}} \integrate{-\pi/\Ts}{\pi/\Ts}{\Xd(\omega-\tilde{\omega})\delta\parens*{\tilde{\omega}-n\frac{2\pi}{R\Ts}}}{}{\tilde{\omega}} \\ &= \frac{1}{R}\sum_{n=0}^{R-1} \Xd\parens*{\omega-n\frac{2\pi}{R\Ts}} \end{align*} \]また同時に、$\Yd$ が $\omega$ に関する $2\pi/(R\Ts)$ 周期関数であることも解る。
エイリアシングが生じないことと $S_X \subset S_{N,\text{X}}$ が同値であることが解る。$\Yd$ を次の図に示す。
数値例
$x(t) = A\exp(-t^2/(2\sigma^2))$ とし、特に $A=1,\;\sigma=1/10,\;\Ts=1/80,\;R=2$ としたときの数値例を示す。$\xd$ は $[-5\sigma,5\sigma]$ からサンプリングし、ポイント数は $2\times 5\sigma/\Ts + 1 = 81$ である。
これを $1/R=1/2$ にアンダー・サンプリングして $\yd$ を得る（下図）。
$\xd,\yd$ それぞれの DTFT $\Xd,\Yd$ を計算する（下図）。
![2023_4_23_1352_Abs[Xd].png](https://motchy869.com/wordpress/wp-content/uploads/2023/04/2023_4_23_1352_AbsXd.png)
![2023_4_23_1352_Abs[Yd].png](https://motchy869.com/wordpress/wp-content/uploads/2023/04/2023_4_23_1352_AbsYd.png)
$\Yd$ の最大値が $\Xd$ の最大値の半分であり、 $\yd$ の第1 Nyquist 領域が $\xd$ の半分に狭まっていることを確認できる。
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