はじめに
レート変換処理の一部で使われる half-band filter について調べて考えたことを書き残しておく。
\[
% general purpose
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% mathematics
% general purpose
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% set theory
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% number theory
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% analysis
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% inverse trigonometric functions
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% integral
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% complex analysis
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% Laplace transform
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% Discrete Fourier Transform
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% Z transform
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% linear algebra
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% vector
% unit vector
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% probability theory
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\newcommand{\cind}[2]{\ind{#1\left| #2\right.}} % conditional indicator function
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% graph theory
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% programming
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\]
参考資料
- 「信号理論 – No.7 サブバンドと完全再構成-」(https://www.ams.giti.waseda.ac.jp/data/SIG/pdf-files/SIG_no7_view.pdf)
定義
$\def\Ts{{T_\text{s}}}$
サンプリング周期を $\Ts$ とする。係数列 $\{h(n)\}$ のz変換 $H_z(z)$ が次の性質を満たすフィルタを half-band filter と呼ぶ。
- 1.1 $H_z(z^{-1})=H_z(z)$
- 1.2 $H_z(z)+H_z(-z^{-1})=1$
係数列のDTFTを $H_\text{DTFT}(\omega)$ とすると、上記の性質は次と同値である。
- 2.1 $H_\text{DTFT}(-\omega\Ts)=H_\text{DTFT}(\omega\Ts)$
- 2.2 $H_\text{DTFT}(\omega\Ts)+H_\text{DTFT}(\pi-\omega\Ts)=1$
性質
- $h$は偶関数である
- $H_\text{DTFT}(\pi/(2\Ts))=1/2$
- $h(0)=1/2$
- $h(n)=0\quad(n:\text{even},\;n\neq 0)$
性質1の導出
$Proof$
\[ \begin{align*} h(-n) &= \frac{\Ts}{2\pi}\integrate{-\pi/\Ts}{\pi/\Ts}{H_\text{DTFT}(\omega\Ts)\exp\parens{-i\omega\Ts n}}{}{\omega} = \frac{\Ts}{2\pi}\integrate{-\pi/\Ts}{\pi/\Ts}{H_\text{DTFT}(-\omega\Ts)\exp\parens{i(-\omega)\Ts n}}{}{\omega} \\ &= -\frac{\Ts}{2\pi}\integrate{\pi/\Ts}{-\pi/\Ts}{H_\text{DTFT}(\omega’\Ts)\exp\parens{i\omega’\Ts n}}{}{\omega’} \quad (\text{変数変換：}\omega = -\omega’) \\ &= \frac{\Ts}{2\pi}\integrate{-\pi/\Ts}{\pi/\Ts}{H_\text{DTFT}(\omega’\Ts)\exp\parens{i\omega’\Ts n}}{}{\omega’} = h(n) \end{align*} \]$\square$
性質2の導出
定義の2.2で $\omega=\pi/(2\Ts)$ とすれば直ちに得られる。
性質3,4の導出
定義の2.1の両辺を逆z変換する。まず次式が成り立つ。
\[ \begin{align*} \IZTrans{H_z(-z^{-1})}(n) &= \IZTrans{H_z((-z)^{-1})}(n) \\ &= \IZTrans{H_z(-z)}(n) \quad (\because\;h\text{が偶関数}) \\ &= (-1)^n h(n) \end{align*} \]これを用いて、定義の2.1の両辺の逆z変換は次式である。
\[ h(n) + (-1)^n h(n) = \delta(n) \]上式より性質3,4が従う。
$\square$
