はじめに
レート変換処理の一部で使われる Half-Band filter について調べて考えたことを書き残しておく。
\[
% to cope with definition mismatch between MathJax and LaTeX
\newcommand{\coloneq}{\mathrel{:=}}
\newcommand{\eqcolon}{\mathrel{=:}}
% general purpose
\newcommand{\ctext}[1]{\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{#1}}}}
% mathematics
% general purpose
\DeclarePairedDelimiterX{\parens}[1]{\lparen}{\rparen}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\braces}[1]{\lbrace}{\rbrace}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\bracks}[1]{\lbrack}{\rbrack}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\verts}[1]{|}{|}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\Verts}[1]{\|}{\|}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\setComprehension}[2]{\lbrace}{\rbrace}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
\newcommand{\as}{{\quad\textrm{as}\quad}}
\newcommand{\st}{{\textrm{ s.t. }}}
\newcommand{\naturalNumbers}{\mathbb{N}}
\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\rationalNumbers}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\realNumbers}{\mathbb{R}}
\newcommand{\nonNegRealNumbers}{\mathbb{R}_{\geq 0}}
\newcommand{\posRealNumbers}{\mathbb{R}_{> 0}}
\newcommand{\complexNumbers}{\mathbb{C}}
\newcommand{\field}{\mathbb{F}}
\newcommand{\EuclideanSpace}{\mathbb{E}}
\newcommand{\argmax}{\operatorname*{arg~max}}
\newcommand{\argmin}{\operatorname*{arg~min}}
% set theory
\newcommand{\range}[2]{\braces*{#1,\dotsc,#2}}
\renewcommand{\complement}{\mathrm{c}}
\newcommand{\ind}[2]{\mathbbm{1}_{#1}\parens*{#2}}
\newcommand{\indII}[1]{\mathbbm{1}\braces*{#1}}
% number theory
\newcommand{\abs}[1]{\verts*{#1}}
\newcommand{\combi}[2]{{_{#1}\mathrm{C}_{#2}}}
\newcommand{\perm}[2]{{_{#1}\mathrm{P}_{#2}}}
\newcommand{\GaloisField}{\mathrm{GF}}
% real analysis
\newcommand{\NapierE}{\mathrm{e}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} % sign function
\newcommand{\rect}{\operatorname{rect}} % rectangular function
\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}} % closure of a set
\newcommand{\img}{\operatorname{im}} % image of a function
\newcommand{\dom}{\operatorname{dom}} % domain of a function
\newcommand{\LittleO}[2]{\underset{#1}{o}\parens*{#2}} % little-o notation
\newcommand{\norm}[1]{\Verts*{#1}} % norm of a vector or function
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\sinc}{\operatorname{sinc}}
\newcommand{\nrmSinc}{\operatorname{nsinc}} % normalized sinc function
\newcommand{\erf}{\operatorname{erf}}
% inverse trigonometric functions
\newcommand{\asin}{\operatorname{Sin}^{-1}}
\newcommand{\acos}{\operatorname{Cos}^{-1}}
\newcommand{\atan}{\operatorname{Tan}^{-1}}
% derivative
\newcommand{\deriv}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3}#1}{\mathrm{d}{#2}^{#3}}}
\newcommand{\derivLong}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3}}{\mathrm{d}{#2}^{#3}}#1}
\newcommand{\partDeriv}[3]{\frac{\mathrm{\partial}^{#3}#1}{\mathrm{\partial}{#2}^{#3}}}
\newcommand{\partDerivLong}[3]{\frac{\mathrm{\partial}^{#3}}{\mathrm{\partial}{#2}^{#3}}#1}
\newcommand{\partDerivIIHetero}[3]{\frac{\mathrm{\partial}^2#1}{\partial#2\mathrm{\partial}#3}}
\newcommand{\partDerivIIHeteroLong}[3]{{\frac{\mathrm{\partial}^2}{\partial#2\mathrm{\partial}#3}#1}}
% integral
\newcommand{\pv}{{\textrm{ p.v. }}}
\newcommand{\integrate}[5]{\int_{#1}^{#2}{#3}{\;\mathrm{d}^{#4}}#5}
\newcommand{\LebInteg}[4]{\int_{#1} {#2} {#3}\parens*{\;\mathrm{d}#4}}
% complex analysis
\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Log}{\operatorname{Log}}
% Laplace transform
\newcommand{\LPLC}{\operatorname{\mathcal{L}}}
\newcommand{\ILPLC}{\operatorname{\mathcal{L}}^{-1}}
% discrete fourier transform
\newcommand{\DFT}{\operatorname{DFT}}
\newcommand{\IDFT}{\operatorname{IDFT}}
% Z-transform
\newcommand{\ZTrans}{\operatorname{\mathcal{Z}}}
\newcommand{\IZTrans}{\operatorname{\mathcal{Z}}^{-1}}
\newcommand{\SSZTrans}{\underset{\text{s.s.}}{\mathcal{Z}}} % single-sided Z-transform
% linear algebra
\newcommand{\bm}[1]{{\boldsymbol{#1}}}
\newcommand{\vecEntry}[2]{\bm{#1}\bracks*{#2}}
\newcommand{\matEntry}[3]{#1\bracks*{#2}\bracks*{#3}}
\newcommand{\matPart}[5]{\matEntry{#1}{#2:#3}{#4:#5}}
\newcommand{\minor}[3]{{#1}\bracks*{\setminus #2}\bracks*{\setminus #3}} % the minor of a matrix: row #2 and column #3 deleted
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\transpose}[1]{{#1}^\top}
\newcommand{\HerConj}[1]{{#1}^*}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\inProd}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle}
\newcommand{\dotProd}[2]{#1 \cdot #2}
\newcommand{\HadamardProd}{\odot}
\newcommand{\HadamardDiv}{\oslash}
\newcommand{\vecSpan}{\operatorname{span}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
% vector
% unit vector
\newcommand{\vix}{\bm{i}_x}
\newcommand{\viy}{\bm{i}_y}
\newcommand{\viz}{\bm{i}_z}
% graph theory
\newcommand{\neighborhood}{\mathcal{N}}
% probability theory
\newcommand{\PDF}{\operatorname{PDF}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Beta}{\operatorname{Beta}}
\newcommand{\ExpDist}{\operatorname{ExpDist}}
\newcommand{\ErlangDist}{\operatorname{ErlangDist}}
\newcommand{\PoissonDist}{\operatorname{PoissonDist}}
\newcommand{\GammaDist}{\operatorname{Gamma}}
\newcommand{\cind}[2]{\ind{#1\left| #2\right.}} % conditional indicator function
\renewcommand{\Pr}{\operatorname{Pr}}
\DeclarePairedDelimiterX{\cPrParens}[2]{(}{)}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
\newcommand{\Ev}{\operatorname{E}} % expected value
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
% physics
% unit of measurement
\newcommand{\second}{\text{s}}
\newcommand{\hertz}{\text{Hz}}
\newcommand{\decibel}{\text{dB}}
% signal processing
% Discrete Time Fourier Transform
\newcommand{\DTFT}{\operatorname{DTFT}}
\newcommand{\IDTFT}{\operatorname{IDTFT}}
% computer science
% fixed-point arithmetic
\newcommand{\IntPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{i}} % 0.140ex is half of the default thickness. See: [How to make underbracket thinner](https://tex.stackexchange.com/questions/559078/how-to-make-underbracket-thinner)
\newcommand{\DecPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{d}}
\newcommand{\TotalBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}}
\newcommand{\Rat}{\operatorname{Rat}} % Maps a fixed-point number to a corresponding rational number.
% programming
\newcommand{\plpl}{\mathrel{++}}
\newcommand{\pleq}{\mathrel{+}=}
\newcommand{\asteq}{\mathrel{*}=}
\]
参考資料
- 「信号理論 – No.7 サブバンドと完全再構成-」(https://www.ams.giti.waseda.ac.jp/data/SIG/pdf-files/SIG_no7_view.pdf)
定義
\[
\newcommand{\Ts}{T_\text{s}}
\newcommand{\HZT}{H_\text{ZT}}
\newcommand{\HDTFT}{H_\text{DTFT}}
\]
サンプリング周期を $\Ts$ とする。係数 $h:\integers\to\complexNumbers$ の Z 変換 $\HZT$ が次の性質を満たすフィルタを Half-Band Filter と呼ぶ。
- 1. $\HZT(z^{-1})=\HZT(z)$
- 2. $\HZT(z)+\HZT(-z^{-1})=1$
係数列の DTFT を $\HDTFT:\realNumbers\to\complexNumbers$ とすると，上記の性質は次と同値である。
- 3. $\HDTFT(-\omega) = \HDTFT(\omega)$
- 4. $\HDTFT(\omega) + \HDTFT(-(\omega-\pi/\Ts)) = 1$
性質
- $h$は偶関数である
- $\HDTFT(\pi/(2\Ts)) = 1/2$
- $h(0)=1/2$
- $h(n)=0\quad(n:\text{even},\;n\neq 0)$
性質1の導出
定義の 1 から明らかである（Z 変換の z を 1/z で置き換えるのは時間軸方向の反転と等価）。
性質2の導出
定義の 4 で $\omega=\pi/(2\Ts)$ として定義の 3 を適用して直ちに得られる。
性質3,4の導出
まず次式が成り立つ。
\[ \begin{align*} \IZTrans\parens*{\HZT(-z^{-1})}(n) &= \IZTrans\parens*{\HZT((-z)^{-1})}(n) \\ &= \IZTrans\parens*{\HZT(-z)}(n) \quad (\because\;h\text{が偶関数}) \\ &= (-1)^n h(n) \end{align*} \]これを用いて定義の 2 の両辺の逆 Z 変換は次式である。
\[ h(n) + (-1)^n h(n) = \delta(n) \]これより性質 3, 4 が従う。
$\square$
注意
前掲の定義だけでは $H(0)$ の値は一意に決まらない。極端な例として区間 $[-\pi/2,\pi/2)$ で 1, その外側で 0 となる関数（所謂 brick-wall filter），および恒等関数 $H(\omega)=1/2$ のいずれもが定義を満たす。実用上は $H(0)=1$ の LPF か，または $H(0)=0$ の HPF として設計されることが多い。
応用
Low-Pass HBF の場合は $\HZT(1) = \HDTFT(0) = 1$ であるから $\sum_{n=-\infty}^\infty h(n) = 1$ である。ASIC, FPGA に於いて固定小数点数を用いて Low-Pass HBF を実装するとき、入力と係数列の内積を係数の総和で割って DC ゲインを 1 に調整する（最初から係数の総和が 1 になるように係数自体を正規化するのでは固定小数点数では丸め誤差が大きく、好ましくない）。係数列の総和が 2 の累乗であればビット・シフトで除算が可能であり都合がよい。
係数の計算にあたっては Remez のアルゴリズムを用いて浮動小数点数として算出した係数を固定小数点数に変換する手法が専ら用いられるが、このときに $h(0)$ を 2 の累乗に選ぶと自動的に係数の総和が 2 の累乗になる。
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