アンダー・サンプリングされた信号のDTFT

1 はじめに
2 主張
3 導出
4 数値例

はじめに

離散時間信号をアンダー・サンプリングした結果のDTFTと元の離散時間信号のDTFTの関係を明らかにし、エイリアシングが生じない条件を導く。

本記事の内容は下記の資料にも記した。

Release v0.11.1 · motchy869/Signal-Processing-Memorandum (github.com)
「アンダー・サンプリングされた信号のDTFT」

\[ % 汎用 \newcommand{\ctext}[1]{\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{#1}}}} % 数学 % 汎用 \DeclarePairedDelimiterX{\parens}[1]{\lparen}{\rparen}{#1} \DeclarePairedDelimiterX{\braces}[1]{\lbrace}{\rbrace}{#1} \DeclarePairedDelimiterX{\bracks}[1]{\lbrack}{\rbrack}{#1} \DeclarePairedDelimiterX{\verts}[1]{|}{|}{#1} \DeclarePairedDelimiterX{\Verts}[1]{\|}{\|}{#1} \newcommand{\as}{{\quad\textrm{as}\quad}} \newcommand{\st}{{\textrm{ s.t. }}} \DeclarePairedDelimiterX{\setComprehension}[2]{\lbrace}{\rbrace}{#1\,\delimsize\vert\,#2} \newcommand{\naturalNumbers}{\mathbb{N}} \newcommand{\integers}{\mathbb{Z}} \newcommand{\rationalNumbers}{\mathbb{Q}} \newcommand{\realNumbers}{\mathbb{R}} \newcommand{\complexNumbers}{\mathbb{C}} \newcommand{\field}{\mathbb{F}} \newcommand{\func}[2]{{#1}\parens*{#2}} \newcommand{\argmax}{\mathop{\textrm{arg~max}}} \newcommand{\argmin}{\mathop{\textrm{arg~min}}} % 集合論 \newcommand{\range}[2]{\braces*{#1,\dotsc,#2}} 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\[ \newcommand{\Ts}{T_\text{s}} \newcommand{\xd}{x_\text{d}} \newcommand{\yd}{y_\text{d}} \newcommand{\Xd}{X_\text{d}} \newcommand{\Yd}{Y_\text{d}} \newcommand{\DTFT}[1]{\mathrm{DTFT}\parens*{#1}} \newcommand{\DTFTwithArg}[2]{\DTFT{#1}\parens*{#2}} \newcommand{\IDTFT}[1]{\mathrm{IDTFT}\parens*{#1}} \newcommand{\IDTFTwithArg}[2]{\IDTFT{#1}\parens*{#2}} \]

主張

記号を次のように定義する。

$R\in\naturalNumbers,\;R\geq 2$ : アンダー・サンプリング・レート
$\xd:\integers\to\complexNumbers$ : 離散時間信号
$\Ts>0$ : $\xd$ のサンプル周期
$\yd$ : $\xd$ を $1/R$ にアンダー・サンプリングした離散時間信号。つまり $\yd(n) = \xd(nR)$ 。
$\Xd$ : $\xd$ のDTFT
$\Yd$ : $\yd$ のDTFT

このとき $Y$ は次式で表される。

\[ \Yd(\omega) = \frac{1}{R}\sum_{n=0}^{R-1} \Xd\parens*{\omega-n\frac{2\pi}{R\Ts}} \]

$\Yd$ は $\omega$ に関する $2\pi/(R\Ts)$ 周期関数となり、$\Yd$ の第1 Nyquist 領域は $S_{\text{N},Y} \coloneqq [-\pi/(R\Ts),-\pi/(R\Ts))$ となる。

全体に $1/R$ が掛けられているが、振幅が $1/R$ になるわけではない。DTFT の内積計算の対象となる点の数が $1/R$ に減ったことに起因する。

$\Xd$ の台のうち $\xd$ の第1 Nyquist 領域 $S_{\text{N},X} \coloneq [-\pi/\Ts, \pi/\Ts)$ にある部分を $S_X$ とする。エイリアシングが生じない必要十分条件は $S_X\subset S_{\text{N},X}$ である。ここで言うエイリアシングとは、$S_X$ を $2\pi/(R\Ts)$ の整数倍ずつ平行移動しながら無限に複製したものを考えたとき、複製された $S_X$ 同士に重なりが生じることを指す。

導出

\[ \begin{align*} \Yd(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^\infty \yd(n)\exp(-i\omega nR\Ts) = \sum_{n=-\infty}^\infty \xd(nR)\exp(-i\omega nR\Ts) \\ &= \sum_{m=-\infty}^\infty u(m)\xd(m)\exp(-i\omega m\Ts) \quad \text{where} \quad u(m) \coloneqq \begin{cases} 1 & (m\in R\integers) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases} \\ &= \DTFTwithArg{u\xd}{\omega} \\ &= \frac{\Ts}{2\pi}\integrate{-\pi/\Ts}{\pi/\Ts}{\Xd(\omega-\tilde{\omega})U(\tilde{\omega})}{}{\tilde{\omega}} \quad \text{where} \quad U(\omega) \coloneqq \frac{2\pi}{R\Ts}\sum_{m=-\infty}^\infty\delta\parens*{\omega – n\frac{2\pi}{R\Ts}} \\ &= \frac{1}{R} \integrate{-\pi/\Ts}{\pi/\Ts}{\Xd(\omega-\tilde{\omega})\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\parens*{\tilde{\omega}-n\frac{2\pi}{R\Ts}}}{}{\tilde{\omega}} \tag{1} \end{align*} \]

※1　信号処理 Tips – 門前の小僧 (motchy869.com)「指数関数とデルタ関数の無限級数」を用いた

被積分関数の $\Xd$ とデルタ関数列を次の図に示す。$\omega$ がデルタ関数列の原点からのオフセットである。

2023_4_23_1123_X_d_and_delta_impulse_series — $\Xd$ とデルタ関数列($R=2$)

$\Xd$ が $2\pi/\Ts$ 周期関数であること、式(1)の積分範囲が $[-\pi/\Ts,\pi/\Ts]$ であること、および $R$ が偶数の場合に積分範囲の両端点で生じる、デルタ関数の中心から左右半分と $\Xd$ との積の積分を考慮すると、式(1)は次式と等しいことが解る。

\[ \begin{align*} \Yd(\omega) &= \frac{1}{R}\sum_{n=-\floor{R/2}}^{\floor{R/2}} \integrate{-\pi/\Ts}{\pi/\Ts}{\Xd(\omega-\tilde{\omega})\delta\parens*{\tilde{\omega}-n\frac{2\pi}{R\Ts}}}{}{\tilde{\omega}} \\ &= \frac{1}{R}\sum_{n=0}^{R-1} \Xd\parens*{\omega-n\frac{2\pi}{R\Ts}} \end{align*} \]

また同時に、$\Yd$ が $\omega$ に関する $2\pi/(R\Ts)$ 周期関数であることも解る。

エイリアシングが生じないことと $S_X \subset S_{N,\text{X}}$ が同値であることが解る。$\Yd$ を次の図に示す。

数値例

$x(t) = A\exp(-t^2/(2\sigma^2))$ とし、特に $A=1,\;\sigma=1/10,\;\Ts=1/80,\;R=2$ としたときの数値例を示す。$\xd$ は $[-5\sigma,5\sigma]$ からサンプリングし、ポイント数は $2\times 5\sigma/\Ts + 1 = 81$ である。