はじめに
レート変換処理の一部で使われる half-band filter について調べて考えたことを書き残しておく。
\[
% 汎用
\newcommand{\ctext}[1]{\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{#1}}}}
% 数学
% 汎用
\DeclarePairedDelimiterX{\parens}[1]{\lparen}{\rparen}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\braces}[1]{\lbrace}{\rbrace}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\bracks}[1]{\lbrack}{\rbrack}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\verts}[1]{|}{|}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\Verts}[1]{\|}{\|}{#1}
\newcommand{\as}{{\quad\textrm{as}\quad}}
\newcommand{\st}{{\textrm{ s.t. }}}
\DeclarePairedDelimiterX{\setComprehension}[2]{\lbrace}{\rbrace}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
\newcommand{\naturalNumbers}{\mathbb{N}}
\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\rationalNumbers}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\realNumbers}{\mathbb{R}}
\newcommand{\complexNumbers}{\mathbb{C}}
\newcommand{\field}{\mathbb{F}}
\newcommand{\func}[2]{{#1}\parens*{#2}}
\newcommand{\argmax}{\mathop{\textrm{arg~max}}}
\newcommand{\argmin}{\mathop{\textrm{arg~min}}}
% 集合論
\newcommand{\range}[2]{\braces*{#1,\dotsc,#2}}
\providecommand{\complement}{}\renewcommand{\complement}{\mathrm{c}}
\newcommand{\ind}[2]{\mathbbm{1}_{#1}\parens*{#2}}
\newcommand{\indII}[1]{\mathbbm{1}\braces*{#1}}
% 数論
\newcommand{\abs}[1]{\verts*{#1}}
\newcommand{\combi}[2]{{_{#1}\mathrm{C}_{#2}}}
\newcommand{\perm}[2]{{_{#1}\mathrm{P}_{#2}}}
\newcommand{\GaloisField}[1]{\mathrm{GF}\parens*{#1}}
% 解析学
\newcommand{\NapierE}{\mathrm{e}}
\newcommand{\sgn}[1]{\operatorname{sgn}\parens*{#1}}
\newcommand{\cl}[1]{\operatorname{cl}#1}
\newcommand{\Img}[1]{\operatorname{Img}\parens*{#1}}
\newcommand{\dom}[1]{\operatorname{dom}\parens*{#1}}
\newcommand{\norm}[1]{\Verts*{#1}}
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\expo}[1]{\exp\parens*{#1}}
\newcommand{\sinc}{\mathop{\textrm{sinc}}}
\newcommand{\GammaFunc}[1]{\Gamma\parens*{#1}}
\newcommand{\erf}{\mathop{\mathrm{erf}}}
% 逆三角関数
\newcommand{\asin}[1]{\operatorname{Sin}^{-1}{#1}}
\newcommand{\acos}[1]{\operatorname{Cos}^{-1}{#1}}
\newcommand{\atan}[1]{\operatorname{{Tan}^{-1}}{#1}}
\newcommand{\atanEx}[2]{\atan{\parens*{#1,#2}}}
% 畳み込み
\newcommand{\cycConv}[2]{{#1}\underset{\text{cyc}}{*}{#2}}
% 微分
\newcommand{\deriv}[3]{\frac{\operatorname{d}^{#3}#1}{\operatorname{d}{#2}^{#3}}}
\newcommand{\derivLong}[3]{\frac{\operatorname{d}^{#3}}{\operatorname{d}{#2}^{#3}}#1}
\newcommand{\partDeriv}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^{#3}#1}{\operatorname{\partial}{#2}^{#3}}}
\newcommand{\partDerivLong}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^{#3}}{\operatorname{\partial}{#2}^{#3}}#1}
\newcommand{\partDerivIIHetero}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^2#1}{\partial#2\operatorname{\partial}#3}}
\newcommand{\partDerivIIHeteroLong}[3]{{\frac{\operatorname{\partial}^2}{\partial#2\operatorname{\partial}#3}#1}}
% 積分
\newcommand{\integrate}[5]{\int_{#1}^{#2}{#3}{\mathrm{d}^{#4}}#5}
\newcommand{\LebInteg}[4]{\int_{#1} {#2} {#3}\parens*{\mathrm{d}#4}}
% 複素解析
\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
\providecommand{\Re}{}\renewcommand{\Re}[1]{{\operatorname{Re}{\parens*{#1}}}}
\providecommand{\Im}{}\renewcommand{\Im}[1]{{\operatorname{Im}{\parens*{#1}}}}
\newcommand{\Arg}[1]{\operatorname{Arg}{\parens*{#1}}}
\newcommand{\Log}[1]{\operatorname{Log}{#1}}
% ラプラス変換
\newcommand{\LPLC}[1]{\operatorname{\mathcal{L}}\parens*{#1}}
\newcommand{\ILPLC}[1]{\operatorname{\mathcal{L}}^{-1}\parens*{#1}}
% 離散Fourier変換
\newcommand{\DFT}[1]{\mathrm{DFT}\parens*{#1}}
% Z変換
\newcommand{\ZTrans}[1]{\operatorname{\mathcal{Z}}\parens*{#1}}
\newcommand{\IZTrans}[1]{\operatorname{\mathcal{Z}}^{-1}\parens*{#1}}
% 線形代数
\newcommand{\bm}[1]{{\boldsymbol{#1}}}
\newcommand{\matEntry}[3]{#1\bracks*{#2}\bracks*{#3}}
\newcommand{\matPart}[5]{\matEntry{#1}{#2:#3}{#4:#5}}
\newcommand{\diag}[1]{\operatorname{diag}\parens*{#1}}
\newcommand{\tr}[1]{\operatorname{tr}{\parens*{#1}}}
\newcommand{\inprod}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle}
\newcommand{\HadamardProd}{\odot}
\newcommand{\HadamardDiv}{\oslash}
\newcommand{\Span}[1]{\operatorname{span}\bracks*{#1}}
\newcommand{\Ker}[1]{\operatorname{Ker}\parens*{#1}}
\newcommand{\rank}[1]{\operatorname{rank}\parens*{#1}}
% ベクトル
% 単位ベクトル
\newcommand{\vix}{\bm{i}_x}
\newcommand{\viy}{\bm{i}_y}
\newcommand{\viz}{\bm{i}_z}
% 確率論
\newcommand{\PDF}[2]{\operatorname{PDF}\bracks*{#1,\;#2}}
\newcommand{\Ber}[1]{\operatorname{Ber}\parens*{#1}}
\newcommand{\Beta}[2]{\operatorname{Beta}\parens*{#1,#2}}
\newcommand{\ExpDist}[1]{\operatorname{ExpDist}\parens*{#1}}
\newcommand{\ErlangDist}[2]{\operatorname{ErlangDist}\parens*{#1,#2}}
\newcommand{\PoissonDist}[1]{\operatorname{PoissonDist}\parens*{#1}}
\newcommand{\GammaDist}[2]{\operatorname{Gamma}\parens*{#1,#2}}
\newcommand{\cind}[2]{\ind{#1\left| #2\right.}} %条件付き指示関数
\providecommand{\Pr}{}\renewcommand{\Pr}[1]{\operatorname{Pr}\parens*{#1}}
\newcommand{\cPr}[2]{\operatorname{Pr}\cPrParens{#1}{#2}}
\newcommand{\E}[2]{\operatorname{E}_{#1}\bracks*{#2}}
\newcommand{\cE}[3]{\E{#1}{\left.#2\right|#3}}
\newcommand{\Var}[2]{\operatorname{Var}_{#1}\bracks*{#2}}
\newcommand{\Cov}[2]{\operatorname{Cov}\bracks*{#1,#2}}
\newcommand{\CovMat}[1]{\operatorname{Cov}\bracks*{#1}}
% グラフ理論
\newcommand{\neighborhood}{\mathcal{N}}
% プログラミング
\newcommand{\plpl}{\mathrel{++}}
\newcommand{\pleq}{\mathrel{+}=}
\newcommand{\asteq}{\mathrel{*}=}
\]
参考資料
- 「信号理論 – No.7 サブバンドと完全再構成-」(https://www.ams.giti.waseda.ac.jp/data/SIG/pdf-files/SIG_no7_view.pdf)
定義
$\def\Ts{{T_\text{s}}}$
サンプリング周期を $\Ts$ とする。係数列 $\{h(n)\}$ のz変換 $H_z(z)$ が次の性質を満たすフィルタを half-band filter と呼ぶ。
- 1.1 $H_z(z^{-1})=H_z(z)$
- 1.2 $H_z(z)+H_z(-z^{-1})=1$
係数列のDTFTを $H_\text{DTFT}(\omega)$ とすると、上記の性質は次と同値である。
- 2.1 $H_\text{DTFT}(-\omega\Ts)=H_\text{DTFT}(\omega\Ts)$
- 2.2 $H_\text{DTFT}(\omega\Ts)+H_\text{DTFT}(\pi-\omega\Ts)=1$
性質
- $h$は偶関数である
- $H_\text{DTFT}(\pi/(2\Ts))=1/2$
- $h(0)=1/2$
- $h(n)=0\quad(n:\text{even},\;n\neq 0)$
性質1の導出
$Proof$
\[ \begin{align*} h(-n) &= \frac{\Ts}{2\pi}\integrate{-\pi/\Ts}{\pi/\Ts}{H_\text{DTFT}(\omega\Ts)\exp\parens{-i\omega\Ts n}}{}{\omega} = \frac{\Ts}{2\pi}\integrate{-\pi/\Ts}{\pi/\Ts}{H_\text{DTFT}(-\omega\Ts)\exp\parens{i(-\omega)\Ts n}}{}{\omega} \\ &= -\frac{\Ts}{2\pi}\integrate{\pi/\Ts}{-\pi/\Ts}{H_\text{DTFT}(\omega’\Ts)\exp\parens{i\omega’\Ts n}}{}{\omega’} \quad (\text{変数変換：}\omega = -\omega’) \\ &= \frac{\Ts}{2\pi}\integrate{-\pi/\Ts}{\pi/\Ts}{H_\text{DTFT}(\omega’\Ts)\exp\parens{i\omega’\Ts n}}{}{\omega’} = h(n) \end{align*} \]$\square$
性質2の導出
定義の2.2で $\omega=\pi/(2\Ts)$ とすれば直ちに得られる。
性質3,4の導出
定義の2.1の両辺を逆z変換する。まず次式が成り立つ。
\[ \begin{align*} \IZTrans{H_z(-z^{-1})}(n) &= \IZTrans{H_z((-z)^{-1})}(n) \\ &= \IZTrans{H_z(-z)}(n) \quad (\because\;h\text{が偶関数}) \\ &= (-1)^n h(n) \end{align*} \]これを用いて、定義の2.1の両辺の逆z変換は次式である。
\[ h(n) + (-1)^n h(n) = \delta(n) \]上式より性質3,4が従う。
$\square$
