理想的なDACの出力の周波数スペクトラム「アパーチャ効果」

はじめに

離散時間信号をサンプリング周期に従ってDACから出力したときの周波数スペクトラムを計算する。量子化誤差は無視する。本記事の内容は下記の資料にも記した。

Release v0.8.0 · motchy869/Signal-Processing-Memorandum (github.com)　「0次ホールドされた離散時間信号の周波数スペクトラム」

主張

$x_{\text{d}}:\mathbb{Z}\to \mathbb{C}$ を離散時間信号とする。$X_{\text{d}}$ を $x_{\text{d}}$ のDTFTとする。$T_{\text{s}}>0$ をサンプル周期として $x_{\text{d}}$ の0次ホールドで生成した階段状の連続時間信号を $x$ とする。

$u:\mathbb{R}\to \{0,1\}$ を幅 $T_{\text{s}}$ のパルスとする。

$$u(t)=\{\begin{array}{ll}1& 0\le t<T_{\text{s}}\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

$x$ は次式で表される。

$$x(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\text{d}}(n)u(t-n{T}_{\text{s}})$$

次の図は $T_{\text{s}}=1,x_{\text{d}}(n)=\sin (2\pi n/12)(0\le n\le 24),x_{\text{d}}(n)=0(n<0,24<n)$ の例である。

$x$ のFourier変換 $X$ は次式である。

$$X(\omega )=\frac{T_{\text{s}}}{\sqrt{2\pi }}\exp (-i\frac{T_{\text{s}}}{2}\omega )\left(\mathrm{sinc}\frac{T_{\text{s}}}{2}\omega \right)X_{\text{d}}(\omega )$$

$X_{\text{d}}(\omega )$ が $2\pi /T_{\text{s}}$ 周期関数であることに注意すれば、$X_{\text{d}}(\omega )$ の第1 Nyquist領域の形状が位相回転 $\exp (-i\omega T_{\text{s}}/2)$ とレベル減衰 $\mathrm{sinc}\omega T_{\text{s}}/2$ を伴いつつ周期的に無限に繰り返されていることがわかる。この現象は「アパーチャ効果」と呼ばれる。

次の図は図1に対応する $X$ の例である。

導出

$$\begin{array}{}\text{(1)}& X(\omega )=\mathcal{F}(\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\text{d}}(n)u(t-n{T}_{\text{s}}))(\omega )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\text{d}}(n)\mathcal{F}(u(t-n{T}_{\text{s}}))(\omega )\end{array}$$

ここで次式が成り立つ。

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}(u(t-n{T}_{\text{s}}))(\omega )& =\exp (-i\omega n{T}_{\text{s}})\mathcal{F}\left(u\right)(\omega )=\exp (-i\omega n{T}_{\text{s}})\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^{T_{\text{s}}}\exp (-i\omega t){\mathrm{d}}^{}t\\ & =\frac{i}{\omega \sqrt{2\pi }}(\exp (-i\omega T_{\text{s}})-1)\exp (-i\omega n{T}_{\text{s}})\\ & =\frac{i}{\omega \sqrt{2\pi }}\exp (-i\omega n{T}_{\text{s}})\exp (-i\omega T_{\text{s}}/2)(\exp (-i\omega T_{\text{s}}/2)–\exp \left(i\omega T_{\text{s}}/2\right))\\ & =\frac{i}{\omega \sqrt{2\pi }}\exp (-i\omega n{T}_{\text{s}})\exp (-i\omega T_{\text{s}}/2)(-2i)\sin \frac{\omega T_{\text{s}}}{2}\\ & =\frac{2}{\omega \sqrt{2\pi }}\exp (-i\omega n{T}_{\text{s}})\exp (-i\omega T_{\text{s}}/2)\sin \frac{\omega T_{\text{s}}}{2}\\ & =\frac{T_{\text{s}}}{\sqrt{2\pi }}\exp (-i\omega n{T}_{\text{s}})\exp (-i\omega T_{\text{s}}/2)\mathrm{sinc}\frac{\omega T_{\text{s}}}{2}\end{array}$$

これを式(1)に適用して次式を得る。

$$\begin{array}{rl}X(\omega )& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\text{d}}(n)\frac{T_{\text{s}}}{\sqrt{2\pi }}\exp (-i\omega n{T}_{\text{s}})\exp (-i\omega T_{\text{s}}/2)\mathrm{sinc}\frac{\omega T_{\text{s}}}{2}\\ & =\frac{T_{\text{s}}}{\sqrt{2\pi }}\exp (-i\omega T_{\text{s}}/2)\mathrm{sinc}\frac{\omega T_{\text{s}}}{2}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\text{d}}(n)\exp (-i\omega n{T}_{\text{s}})\\ & =\frac{T_{\text{s}}}{\sqrt{2\pi }}\exp (-i\frac{T_{\text{s}}}{2}\omega )\left(\mathrm{sinc}\frac{T_{\text{s}}}{2}\omega \right)X_{\text{d}}(\omega )\end{array}$$

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