理想的なDACの出力の周波数スペクトラム

はじめに

離散時間信号をサンプリング周期に従ってDACから出力したときの周波数スペクトラムを計算する。量子化誤差は無視する。本記事の内容は下記の資料にも記した。

Release v0.8.0 · motchy869/Signal-Processing-Memorandum (github.com) 「0次ホールドされた離散時間信号の周波数特性」

\[ % 汎用 \newcommand{\ctext}[1]{\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{#1}}}} % 数学 % 汎用 \DeclarePairedDelimiterX{\parens}[1]{\lparen}{\rparen}{#1} \DeclarePairedDelimiterX{\braces}[1]{\lbrace}{\rbrace}{#1} \DeclarePairedDelimiterX{\bracks}[1]{\lbrack}{\rbrack}{#1} \DeclarePairedDelimiterX{\verts}[1]{|}{|}{#1} \DeclarePairedDelimiterX{\Verts}[1]{\|}{\|}{#1} \newcommand{\as}{{\quad\textrm{as}\quad}} \newcommand{\st}{{\textrm{ s.t. }}} \DeclarePairedDelimiterX{\setComprehension}[2]{\lbrace}{\rbrace}{#1\,\delimsize\vert\,#2} \newcommand{\naturalNumbers}{\mathbb{N}} \newcommand{\integers}{\mathbb{Z}} \newcommand{\rationalNumbers}{\mathbb{Q}} \newcommand{\realNumbers}{\mathbb{R}} \newcommand{\complexNumbers}{\mathbb{C}} \newcommand{\field}{\mathbb{F}} \newcommand{\func}[2]{{#1}\parens*{#2}} \newcommand{\argmax}{\mathop{\textrm{arg~max}}} \newcommand{\argmin}{\mathop{\textrm{arg~min}}} % 集合論 \newcommand{\range}[2]{\braces*{#1,\dotsc,#2}} \providecommand{\complement}{}\renewcommand{\complement}{\mathrm{c}} \newcommand{\ind}[2]{\mathbbm{1}_{#1}\parens*{#2}} \newcommand{\indII}[1]{\mathbbm{1}\braces*{#1}} % 数論 \newcommand{\abs}[1]{\verts*{#1}} \newcommand{\combi}[2]{{_{#1}\mathrm{C}_{#2}}} \newcommand{\perm}[2]{{_{#1}\mathrm{P}_{#2}}} \newcommand{\GaloisField}[1]{\mathrm{GF}\parens*{#1}} % 解析学 \newcommand{\NapierE}{\mathrm{e}} \newcommand{\sgn}[1]{\operatorname{sgn}\parens*{#1}} \newcommand{\cl}[1]{\operatorname{cl}#1} \newcommand{\Img}[1]{\operatorname{Img}\parens*{#1}} \newcommand{\dom}[1]{\operatorname{dom}\parens*{#1}} \newcommand{\norm}[1]{\Verts*{#1}} \newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil} \newcommand{\expo}[1]{\exp\parens*{#1}} \newcommand{\sinc}{\mathop{\textrm{sinc}}} \newcommand{\GammaFunc}[1]{\Gamma\parens*{#1}} \newcommand{\erf}{\mathop{\mathrm{erf}}} % 逆三角関数 \newcommand{\asin}[1]{\operatorname{Sin}^{-1}{#1}} \newcommand{\acos}[1]{\operatorname{Cos}^{-1}{#1}} \newcommand{\atan}[1]{\operatorname{{Tan}^{-1}}{#1}} \newcommand{\atanEx}[2]{\atan{\parens*{#1,#2}}} % 畳み込み \newcommand{\cycConv}[2]{{#1}\underset{\text{cyc}}{*}{#2}} % 微分 \newcommand{\deriv}[3]{\frac{\operatorname{d}^{#3}#1}{\operatorname{d}{#2}^{#3}}} \newcommand{\derivLong}[3]{\frac{\operatorname{d}^{#3}}{\operatorname{d}{#2}^{#3}}#1} \newcommand{\partDeriv}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^{#3}#1}{\operatorname{\partial}{#2}^{#3}}} \newcommand{\partDerivLong}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^{#3}}{\operatorname{\partial}{#2}^{#3}}#1} \newcommand{\partDerivIIHetero}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^2#1}{\partial#2\operatorname{\partial}#3}} \newcommand{\partDerivIIHeteroLong}[3]{{\frac{\operatorname{\partial}^2}{\partial#2\operatorname{\partial}#3}#1}} % 積分 \newcommand{\integrate}[5]{\int_{#1}^{#2}{#3}{\mathrm{d}^{#4}}#5} \newcommand{\LebInteg}[4]{\int_{#1} {#2} {#3}\parens*{\mathrm{d}#4}} % 複素解析 \newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}} \providecommand{\Re}{}\renewcommand{\Re}[1]{{\operatorname{Re}{\parens*{#1}}}} \providecommand{\Im}{}\renewcommand{\Im}[1]{{\operatorname{Im}{\parens*{#1}}}} \newcommand{\Arg}[1]{\operatorname{Arg}{\parens*{#1}}} \newcommand{\Log}[1]{\operatorname{Log}{#1}} % ラプラス変換 \newcommand{\LPLC}[1]{\operatorname{\mathcal{L}}\parens*{#1}} \newcommand{\ILPLC}[1]{\operatorname{\mathcal{L}}^{-1}\parens*{#1}} % 離散Fourier変換 \newcommand{\DFT}[1]{\mathrm{DFT}\parens*{#1}} % Z変換 \newcommand{\ZTrans}[1]{\operatorname{\mathcal{Z}}\parens*{#1}} \newcommand{\IZTrans}[1]{\operatorname{\mathcal{Z}}^{-1}\parens*{#1}} % 線形代数 \newcommand{\bm}[1]{{\boldsymbol{#1}}} \newcommand{\matEntry}[3]{#1\bracks*{#2}\bracks*{#3}} \newcommand{\matPart}[5]{\matEntry{#1}{#2:#3}{#4:#5}} \newcommand{\diag}[1]{\operatorname{diag}\parens*{#1}} \newcommand{\tr}[1]{\operatorname{tr}{\parens*{#1}}} \newcommand{\inprod}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle} \newcommand{\HadamardProd}{\odot} \newcommand{\HadamardDiv}{\oslash} \newcommand{\Span}[1]{\operatorname{span}\bracks*{#1}} \newcommand{\Ker}[1]{\operatorname{Ker}\parens*{#1}} \newcommand{\rank}[1]{\operatorname{rank}\parens*{#1}} % ベクトル % 単位ベクトル \newcommand{\vix}{\bm{i}_x} \newcommand{\viy}{\bm{i}_y} \newcommand{\viz}{\bm{i}_z} % 確率論 \newcommand{\PDF}[2]{\operatorname{PDF}\bracks*{#1,\;#2}} \newcommand{\Ber}[1]{\operatorname{Ber}\parens*{#1}} \newcommand{\Beta}[2]{\operatorname{Beta}\parens*{#1,#2}} \newcommand{\ExpDist}[1]{\operatorname{ExpDist}\parens*{#1}} \newcommand{\ErlangDist}[2]{\operatorname{ErlangDist}\parens*{#1,#2}} \newcommand{\PoissonDist}[1]{\operatorname{PoissonDist}\parens*{#1}} \newcommand{\GammaDist}[2]{\operatorname{Gamma}\parens*{#1,#2}} \newcommand{\cind}[2]{\ind{#1\left| #2\right.}} %条件付き指示関数 \providecommand{\Pr}{}\renewcommand{\Pr}[1]{\operatorname{Pr}\parens*{#1}} \newcommand{\cPr}[2]{\operatorname{Pr}\cPrParens{#1}{#2}} \newcommand{\E}[2]{\operatorname{E}_{#1}\bracks*{#2}} \newcommand{\cE}[3]{\E{#1}{\left.#2\right|#3}} \newcommand{\Var}[2]{\operatorname{Var}_{#1}\bracks*{#2}} \newcommand{\Cov}[2]{\operatorname{Cov}\bracks*{#1,#2}} \newcommand{\CovMat}[1]{\operatorname{Cov}\bracks*{#1}} % グラフ理論 \newcommand{\neighborhood}{\mathcal{N}} % プログラミング \newcommand{\plpl}{\mathrel{++}} \newcommand{\pleq}{\mathrel{+}=} \newcommand{\asteq}{\mathrel{*}=} \]

主張

\[ \newcommand{\xd}{x_\text{d}} \newcommand{\Xd}{X_\text{d}} \newcommand{\Ts}{T_\text{s}} \newcommand{\FT}[1]{\mathcal{F}\parens*{#1}} \]

$\xd:\integers\to\complexNumbers$ を離散時間信号とする。$\Xd$ を $\xd$ のDTFTとする。$\Ts>0$ をサンプル周期として $\xd$ の0次ホールドで生成した階段状の連続時間信号を $x$ とする。

$u:\realNumbers\to\braces{0,1}$ を幅 $\Ts$ のパルスとする。

\[ u(t) = \begin{cases} 1 & 0\leq t < \Ts \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \]

$x$ は次式で表される。

\[ x(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty \xd(n)u(t-n\Ts) \]

次の図は $\Ts=1,\xd(n) = \sin\parens{2\pi n/12}\;(0\leq n\leq 24),\;\xd(n) = 0\;(n<0,24<n)$ の例である。

xの例
図1 $x$の例

$x$ のFourier変換 $X$ は次式である。

\[ X(\omega) = \frac{\Ts}{\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i\frac{\Ts}{2}\omega}\parens*{\sinc \frac{\Ts}{2}\omega}\Xd(\omega) \]

$\Xd(\omega)$ が $2\pi/\Ts$ 周期関数であることに注意すれば、$\Xd(\omega)$ の第1 Nyquist領域の形状が位相回転 $\exp\parens{-i \omega\Ts/2}$ とレベル減衰 $\sinc\omega\Ts/2$ を伴いつつ周期的に無限に繰り返されていることがわかる。

次の図は図1に対応する $X$ の例である。

Xの例
図2 $X$ の例

導出

\[ X(\omega) = \FT{\sum_{n=-\infty}^\infty \xd(n)u(t-n\Ts)}(\omega) = \sum_{n=-\infty}^\infty \xd(n)\FT{u(t-n\Ts)}(\omega) \tag{1} \]

ここで次式が成り立つ。

\begin{align*} \FT{u(t-n\Ts)}(\omega) &= \exp\parens*{-i \omega n\Ts}\FT{u}(\omega) = \exp\parens*{-i \omega n\Ts}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\integrate{0}{\Ts}{\exp\parens*{-i\omega t}}{}{t} \\ &= \frac{i}{\omega\sqrt{2\pi}}\parens*{\exp\parens*{-i \omega\Ts}-1}\exp\parens*{-i \omega n\Ts} \\ &= \frac{i}{\omega\sqrt{2\pi}}\exp\parens{-i \omega n\Ts}\exp\parens{-i \omega\Ts/2}\parens*{\exp\parens*{-i \omega\Ts/2} – \exp\parens*{i \omega\Ts/2}} \\ &= \frac{i}{\omega\sqrt{2\pi}}\exp\parens{-i \omega n\Ts}\exp\parens{-i \omega\Ts/2}(-2i)\sin\frac{\omega\Ts}{2} \\ &= \frac{2}{\omega\sqrt{2\pi}}\exp\parens{-i \omega n\Ts}\exp\parens{-i \omega\Ts/2}\sin\frac{\omega\Ts}{2} \\ &= \frac{\Ts}{\sqrt{2\pi}}\exp\parens{-i \omega n\Ts}\exp\parens{-i \omega\Ts/2}\sinc\frac{\omega\Ts}{2} \end{align*}

これを式(1)に適用して次式を得る。

\begin{align*} X(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^\infty \xd(n)\frac{\Ts}{\sqrt{2\pi}}\exp\parens{-i \omega n\Ts}\exp\parens{-i \omega\Ts/2}\sinc\frac{\omega\Ts}{2} \\ &= \frac{\Ts}{\sqrt{2\pi}}\exp\parens{-i \omega\Ts/2}\sinc\frac{\omega\Ts}{2} \sum_{n=-\infty}^\infty \xd(n)\exp\parens{-i \omega n\Ts} \\ &= \frac{\Ts}{\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i\frac{\Ts}{2}\omega}\parens*{\sinc \frac{\Ts}{2}\omega}\Xd(\omega) \end{align*}

$\square$

投稿者: motchy

An embedded software and FPGA engineer for measuring instrument.

「理想的なDACの出力の周波数スペクトラム」への2件のフィードバック

コメントを残す