はじめに
Lagrangeの補間多項式の1点の値を求めるのに特化した手法として「Nevilleのアルゴリズム」がある。本記事ではその妥当性を確認し、Mathematicaで実験してみる。
\[
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% mathematics
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% inverse trigonometric functions
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% integral
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% complex analysis
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% discrete fourier transform
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% Z-transform
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% linear algebra
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% physics
% unit of measurement
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% computer science
% fixed-point arithmetic
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\newcommand{\DecPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{d}}
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% programming
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\]
概要
良く知られているように、$x$座標が異なる$N+1$個の点$(x_i,y_i),\dots,(x_N,y_N)$を通る高々$N$次の多項式$P(x)$は唯一に定まる(Vandermonde行列の可逆性を用いて示せる)。Nevilleのアルゴリズムとは、これら$N+1$個の点と任意の実数$x$が与えられたときに、$P$の$x$に於ける値$P(x)$を$O(N^2)$の計算量で求めるアルゴリズムである。$P$自体を求めるわけではないので、複数の$x$について評価したければその数だけアルゴリズムを実行する必要がある。Nevilleのアルゴリズムを拡張して多項式そのものを求め(例えば係数ベクトルを保持して更新してゆく)ようとすれば、その計算量は$O(N^3)$となる。
計算法
Wikipediaからの引用になるが、次のようなものである。
- $P_{i,0}(x)\coloneqq y_i\;(i=0,1,\dots,N)$
- $P_{i,k}(x)\coloneqq \frac{1}{x_i-x_{i-k}}\left[(x-x_{i-k})P_{i,k-1}(x) – (x-x_i)P_{i-1,k-1}(x)\right] \quad (\text{for }k=1,2,\dots,N,\;i=k,k+1,\cdots,N)$
- $P_{N,N}(x)$が$P(x)$と一致する
妥当性
次の命題を示す。
「$P_{i,k}$は点$(x_i,y_i),\dots,(x_{i-k},y_{i-k})$を通る。」
まず明らかに$k=0$の時に命題は成り立つ。そこで$k=m\;(m=0,1,2,\dots)$のときに成り立つと仮定して$k=m+1$の時に成り立つことを示す。
\[P_{i,m+1}(x) = \frac{1}{x_i-x_{i-m-1}}\left[(x-x_{i-m-1})P_{i,m}(x) – (x-x_i)P_{i-1,m}(x)\right]\]帰納法の仮定から$P_{i,m}$は点$(x_i,y_i),\dots,(x_{i-m},y_{i-m})$を通り、$P_{i-1,m}$は点$(x_{i-1},y_{i-1}),\dots,(x_{i-m-1},y_{i-m-1})$を通る。よって$P_{i,m+1}(x)$は$m$個の点$(x_{i-1},y_{i-1}),\dots,(x_{i-m},y_{i-m})$を通る。
さらに次式が成り立つ。
\[P_{i,m+1}(x_i) = P_{i,m}(x_i) = y_i, \quad P_{i,m+1}(x_{i-m-1}) = P_{i-1,m}(x_{i-m-1}) = y_{i-m-1}\]上式より$P_{i,m+1}$は点$(x_i,y_i),(x_{i-m-1},y_{i-m-1})$も通ることがわかる。以上より$k=m+1$の時も命題が成り立つ。
$\square$
数値実験
Mathematicaで実装した例を次に示す。
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