はじめに
工学の分野でしばしば登場するノイズのモデルとして white Gaussian noise があるが、 white である(エネルギー・スペクトラム密度が平坦である)理由を筆者は今まで考えたことが無かった。今更ながら気になったので考察する。正規分布する複素数サンプル時系列データの DTFT (離散時間 Fourier 変換)のエネルギー・スペクトラム密度が確率変数であり、分布が周波数に依らず一定であることを導出した後、数値実験の結果を載せる。
\[
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% general purpose
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% mathematics
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% set theory
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% number theory
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% real analysis
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\newcommand{\dom}{\operatorname{dom}} % domain of a function
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% inverse trigonometric functions
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% derivative
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% integral
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% complex analysis
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\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Log}{\operatorname{Log}}
% Laplace transform
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\newcommand{\ILPLC}{\operatorname{\mathcal{L}}^{-1}}
% discrete fourier transform
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% Z-transform
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% linear algebra
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% vector
% unit vector
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% graph theory
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% probability theory
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\newcommand{\cind}[2]{\ind{#1\left| #2\right.}} % conditional indicator function
\renewcommand{\Pr}{\operatorname{Pr}}
\DeclarePairedDelimiterX{\cPrParens}[2]{(}{)}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
\newcommand{\Ev}{\operatorname{E}} % expected value
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
% physics
% unit of measurement
\newcommand{\second}{\text{s}}
\newcommand{\hertz}{\text{Hz}}
\newcommand{\decibel}{\text{dB}}
% signal processing
% Discrete Time Fourier Transform
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% computer science
% fixed-point arithmetic
\newcommand{\IntPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{i}} % 0.140ex is half of the default thickness. See: [How to make underbracket thinner](https://tex.stackexchange.com/questions/559078/how-to-make-underbracket-thinner)
\newcommand{\DecPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{d}}
\newcommand{\TotalBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}}
\newcommand{\Rat}{\operatorname{Rat}} % Maps a fixed-point number to a corresponding rational number.
% programming
\newcommand{\plpl}{\mathrel{++}}
\newcommand{\pleq}{\mathrel{+}=}
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\]
主張
$\newcommand{\Ts}{T_\text{s}}$
$N\in\naturalNumbers,\;\sigma>0$とする。連続時間信号$X:\realNumbers\to\complexNumbers$は確率変数であるとする。これをサンプリング周期$\Ts>0$でサンプリングした$N$個の確率変数$X_n = X(n\Ts)\;(n=0,1,\cdots,N-1)$は互いに独立であり、自身の実部と虚部も独立であり、それぞれ$N(0,\sigma)$に従うとする。数列$\{X_n\}$の DTFT を$Y:\realNumbers\to\complexNumbers$とすると、$|Y(\omega)|^2/(N\sigma^2)$は$\chi_2^2$に従う。
導出
$[\Re\parens*{X_n}, \Im\parens*{X_n}]^\top \sim N(\bm{0}, \sigma I_2)$である。ここに$I_2$は2次の単位行列である。$Y(\omega) = \sum_{n=0}^{N-1} X_n e^{-j\omega\Ts n}$であるが、$X_n e^{-j\omega\Ts n}$は$X_n$を$-\omega\Ts n$だけ回転させたものであり、これもまた$N(\bm{0}, \sigma I_2)$に従う。正規分布の再生性から$Y(\omega)$は$N(\bm{0}, \sqrt{N}\sigma I_2)$に従う。$Y(\omega)/(\sqrt{N}\sigma)$の実部と虚部は独立でそれぞれ標準正規分布に従うので、$|Y(\omega)|^2/(N\sigma^2)$は$\chi_2^2$に従う。
数値実験
ここでは、ディジタル無線のI,Q信号に加わる加法性ノイズを想定し、実部と虚部が独立に正規分布$N(0,\sigma)$に従う乱数列を考える。これを周波数$f_\mathrm{samp}=1\mathrm{kHz}$で10秒間サンプリングした$N=10^4$個のサンプルの DTFT を 0.1 Hz 刻みで計算する。
以下に Mathematica による実装を示す。エネルギー・スペクトラム密度 (DTFT の絶対値の2乗)が確率分布し、分布が周波数に依らないことが確かめられる。また、エネルギー・スペクトラム密度を$N\sigma^2$で除した値の累積分布が$\chi_2^2$分布のそれとよく一致することが確かめられる。
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