座標幾何学の諸定理

目次 [非表示]

1 概要
2 近接する2点と遠方の点との距離の差の極限
- 2.1 主張
- 2.2 導出

概要

他の記事から参照するために、定理や公式をこの記事に書いておく。

\arg \max \arg \min \providecommand ∁ rect \erf \providecommand ℜ \providecommand ℑ \providecommand Pr

近接する2点と遠方の点との距離の差の極限

主張

$a, x \in R^{3}$ とするとき次式が成り立つ。

lim_{‖ x ‖ \to \infty} ‖ x - a ‖ - ‖ x ‖ = - \frac{x}{‖ x ‖} \cdot a

導出

$a = 0$ のときは明らかに成り立つ。以下では $a \neq 0$ とする。また、 $‖ x ‖$ を十分大きくとり、 $‖ x ‖ > ‖ a ‖ / 2$ とする。 $f (x) := ‖ x - a ‖ - ‖ x ‖$ とすると次式が成り立つ。

(f (x) + ‖ x ‖)^{2} = ‖ x - a ‖^{2} ∴ f (x) (f (x) + 2 ‖ x ‖) = ‖ a ‖^{2} - 2 x \cdot a

$f (x)$ が最小となるのは $a$ が、原点と $x$ を結ぶ線分の上にあるときで、その値は $- ‖ a ‖$ である。 $‖ x ‖ > ‖ a ‖ / 2$ と仮定しているから次式を得る。

f (x) = \frac{‖ a ‖^{2} - 2 x \cdot a}{f (x) + 2 ‖ x ‖} < \frac{‖ a ‖^{2} - 2 x \cdot a}{2 ‖ x ‖ - ‖ a ‖} \to - \frac{x}{‖ x ‖} \cdot a as ‖ x ‖ \to \infty

投稿者: motchy

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