はじめに
離散時間信号をオーバー・サンプリングしてLPFを掛けずにDACで出力したときの周波数スペクトルを計算したい。DACの量子化誤差は無視する。本記事の内容は下記の資料にも記した。
Release v0.11.1 · motchy869/Signal-Processing-Memorandum (github.com)
「オーバー・サンプリングされた信号の周波数特性」
\[
% general purpose
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% mathematics
% general purpose
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% set theory
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% number theory
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% analysis
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% inverse trigonometric functions
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% convolution
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% derivative
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% integral
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% complex analysis
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% Laplace transform
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% Discrete Fourier Transform
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% Z transform
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% linear algebra
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% vector
% unit vector
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% probability theory
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\newcommand{\cind}[2]{\ind{#1\left| #2\right.}} % conditional indicator function
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\DeclarePairedDelimiterX{\cPrParens}[2]{(}{)}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
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% graph theory
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% programming
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\]
\[
\newcommand{\Ts}{T_\text{s}}
\newcommand{\FT}[1]{\mathcal{F}\parens*{#1}}
\newcommand{\xda}{x_{\text{d},1}}
\newcommand{\Xda}{X_{\text{d},1}}
\newcommand{\xdb}{x_{\text{d},2}}
\]
主張
記号を次のように定義する。
- $R\in\naturalNumbers,\;R\geq 2$ : オーバー・サンプリングレート
- $\xda:\integers\to\complexNumbers$ : 離散時間信号
- $\Ts>0$ : $\xda$ のサンプル周期
- $\Xda$ : $\xda$ のDTFT
- $\xdb$ : $\xda$ を $R$ 倍にオーバー・サンプリング(元の信号のサンプル同士の間に $R-1$ 個の0を追加)した離散時間信号
- $x_1$ : $\Ts$ をサンプル周期として $\xda$ の0次ホールドで生成した階段状の連続時間信号
- $x_2$ : $\Ts/R$ をサンプル周期として $\xdb$ の0次ホールドで生成した階段状の連続時間信号
$u_1:\realNumbers\to\braces{0,1}$ を幅 $\Ts$ のパルスとする。
\[ u_1(t) = \begin{cases} 1 & 0\leq t < \Ts \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \]同様に $u_2:\realNumbers\to\braces{0,1}$ を幅 $\Ts/R$ のパルスとする。
$x_1$ は次式で表される。
\[ x_1(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)u_1(t-n\Ts) \]$x_2$ は次式で表される。
\[ x_2(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty \xdb(n)u_2(t-n\Ts/R) = \sum_{m=-\infty}^\infty \xdb(R m)u_2(t-m\Ts) = \sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)u_2(t-n\Ts) \]次の図は $\Ts=1,R=4,\xda(n) = \sin\parens{2\pi*n/12}\;(0\leq n\leq 24),\;\xda(n) = 0\;(n<0,24<n)$ の例である。
以上の下、 $x_2$ のFourier変換 $X_2$ は次式である。
\[ X_2(\omega) = \frac{\Ts}{R\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i\frac{\Ts}{2R}\omega}\parens*{\sinc \frac{\Ts}{2R}\omega}\Xda(\omega) \]導出
\[ X_2(\omega) = \FT{\sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)u_2(t-n\Ts)}(\omega) = \sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)\FT{u_2(t-n\Ts)}(\omega) \]ここで、別の記事「理想的なDACの出力の周波数スペクトラム」と同様にして次式が成り立つ。
\[ \FT{u_2(t-n\Ts)}(\omega) = \frac{\Ts}{R\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i \omega n\Ts}\exp\parens*{-i\frac{\omega\Ts}{2R}}\sinc\frac{\omega\Ts}{2R} \]よって次式が成り立つ。
\begin{align*} X_2(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)\frac{\Ts}{R\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i \omega n\Ts}\exp\parens*{-i\frac{\omega\Ts}{2R}}\sinc\frac{\omega\Ts}{2R} \\ &= \frac{\Ts}{R\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i\frac{\omega\Ts}{2R}}\parens*{\sinc\frac{\omega\Ts}{2R}} \sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)\exp\parens*{-i \omega n\Ts} \\ &= \frac{\Ts}{R\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i\frac{\omega\Ts}{2R}}\parens*{\sinc\frac{\omega\Ts}{2R}} \Xda(\omega) \tag{a} \end{align*}$\square$
考察
オーバー・サンプリング前の信号 $x_1$ については「理想的なDACの出力の周波数スペクトラム」より、そのFourier変換は次式である。
\[ X_1(\omega) = \frac{\Ts}{\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i\frac{\Ts}{2}\omega}\parens*{\sinc \frac{\Ts}{2}\omega}\Xda(\omega) \tag{b} \]式(a),(b)を見比べると $\Xda$ を共通して含んでおり、それ以外の箇所でオーバー・サンプリングにより $\Ts$ が $\Ts/R$ に置き換わっていることがわかる。このことから、オーバー・サンプリングにより高調波の位置は変わらず、広域の減衰や位相回転が緩やかになることがわかる。次の図は図1に対応するDTFTとFourier変換の絶対値の例である。
