はじめに
離散時間信号をオーバー・サンプリングしてLPFを掛けずにDACで出力したときの周波数スペクトラムを計算したい。DACの量子化誤差は無視する。本記事の内容は下記の資料にも記した。
Release v0.11.1 · motchy869/Signal-Processing-Memorandum (github.com)
「オーバー・サンプリングされた信号の周波数スペクトラム」
\[
% to cope with definition mismatch between MathJax and LaTeX
\newcommand{\coloneq}{\mathrel{:=}}
\newcommand{\eqcolon}{\mathrel{=:}}
% general purpose
\newcommand{\ctext}[1]{\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{#1}}}}
% mathematics
% general purpose
\DeclarePairedDelimiterX{\parens}[1]{\lparen}{\rparen}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\braces}[1]{\lbrace}{\rbrace}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\bracks}[1]{\lbrack}{\rbrack}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\verts}[1]{|}{|}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\Verts}[1]{\|}{\|}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\setComprehension}[2]{\lbrace}{\rbrace}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
\newcommand{\as}{{\quad\textrm{as}\quad}}
\newcommand{\st}{{\textrm{ s.t. }}}
\newcommand{\naturalNumbers}{\mathbb{N}}
\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\rationalNumbers}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\realNumbers}{\mathbb{R}}
\newcommand{\nonNegRealNumbers}{\mathbb{R}_{\geq 0}}
\newcommand{\posRealNumbers}{\mathbb{R}_{> 0}}
\newcommand{\complexNumbers}{\mathbb{C}}
\newcommand{\field}{\mathbb{F}}
\newcommand{\EuclideanSpace}{\mathbb{E}}
\newcommand{\argmax}{\operatorname*{arg~max}}
\newcommand{\argmin}{\operatorname*{arg~min}}
% set theory
\newcommand{\range}[2]{\braces*{#1,\dotsc,#2}}
\renewcommand{\complement}{\mathrm{c}}
\newcommand{\ind}[2]{\mathbbm{1}_{#1}\parens*{#2}}
\newcommand{\indII}[1]{\mathbbm{1}\braces*{#1}}
% number theory
\newcommand{\abs}[1]{\verts*{#1}}
\newcommand{\combi}[2]{{_{#1}\mathrm{C}_{#2}}}
\newcommand{\perm}[2]{{_{#1}\mathrm{P}_{#2}}}
\newcommand{\GaloisField}{\mathrm{GF}}
% real analysis
\newcommand{\NapierE}{\mathrm{e}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} % sign function
\newcommand{\rect}{\operatorname{rect}} % rectangular function
\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}} % closure of a set
\newcommand{\img}{\operatorname{im}} % image of a function
\newcommand{\dom}{\operatorname{dom}} % domain of a function
\newcommand{\LittleO}[2]{\underset{#1}{o}\parens*{#2}} % little-o notation
\newcommand{\norm}[1]{\Verts*{#1}} % norm of a vector or function
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\sinc}{\operatorname{sinc}}
\newcommand{\nrmSinc}{\operatorname{nsinc}} % normalized sinc function
\newcommand{\erf}{\operatorname{erf}}
% inverse trigonometric functions
\newcommand{\asin}{\operatorname{Sin}^{-1}}
\newcommand{\acos}{\operatorname{Cos}^{-1}}
\newcommand{\atan}{\operatorname{Tan}^{-1}}
% derivative
\newcommand{\deriv}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3}#1}{\mathrm{d}{#2}^{#3}}}
\newcommand{\derivLong}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3}}{\mathrm{d}{#2}^{#3}}#1}
\newcommand{\partDeriv}[3]{\frac{\mathrm{\partial}^{#3}#1}{\mathrm{\partial}{#2}^{#3}}}
\newcommand{\partDerivLong}[3]{\frac{\mathrm{\partial}^{#3}}{\mathrm{\partial}{#2}^{#3}}#1}
\newcommand{\partDerivIIHetero}[3]{\frac{\mathrm{\partial}^2#1}{\partial#2\mathrm{\partial}#3}}
\newcommand{\partDerivIIHeteroLong}[3]{{\frac{\mathrm{\partial}^2}{\partial#2\mathrm{\partial}#3}#1}}
% integral
\newcommand{\pv}{{\textrm{ p.v. }}}
\newcommand{\integrate}[5]{\int_{#1}^{#2}{#3}{\;\mathrm{d}^{#4}}#5}
\newcommand{\LebInteg}[4]{\int_{#1} {#2} {#3}\parens*{\;\mathrm{d}#4}}
% complex analysis
\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Log}{\operatorname{Log}}
% Laplace transform
\newcommand{\LPLC}{\operatorname{\mathcal{L}}}
\newcommand{\ILPLC}{\operatorname{\mathcal{L}}^{-1}}
% discrete fourier transform
\newcommand{\DFT}{\operatorname{DFT}}
\newcommand{\IDFT}{\operatorname{IDFT}}
% Z-transform
\newcommand{\ZTrans}{\operatorname{\mathcal{Z}}}
\newcommand{\IZTrans}{\operatorname{\mathcal{Z}}^{-1}}
\newcommand{\SSZTrans}{\underset{\text{s.s.}}{\mathcal{Z}}} % single-sided Z-transform
% linear algebra
\newcommand{\bm}[1]{{\boldsymbol{#1}}}
\newcommand{\vecEntry}[2]{\bm{#1}\bracks*{#2}}
\newcommand{\matEntry}[3]{#1\bracks*{#2}\bracks*{#3}}
\newcommand{\matPart}[5]{\matEntry{#1}{#2:#3}{#4:#5}}
\newcommand{\minor}[3]{{#1}\bracks*{\setminus #2}\bracks*{\setminus #3}} % the minor of a matrix: row #2 and column #3 deleted
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\transpose}[1]{{#1}^\top}
\newcommand{\HerConj}[1]{{#1}^*}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\inProd}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle}
\newcommand{\dotProd}[2]{#1 \cdot #2}
\newcommand{\HadamardProd}{\odot}
\newcommand{\HadamardDiv}{\oslash}
\newcommand{\vecSpan}{\operatorname{span}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
% vector
% unit vector
\newcommand{\vix}{\bm{i}_x}
\newcommand{\viy}{\bm{i}_y}
\newcommand{\viz}{\bm{i}_z}
% graph theory
\newcommand{\neighborhood}{\mathcal{N}}
% probability theory
\newcommand{\PDF}{\operatorname{PDF}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Beta}{\operatorname{Beta}}
\newcommand{\ExpDist}{\operatorname{ExpDist}}
\newcommand{\ErlangDist}{\operatorname{ErlangDist}}
\newcommand{\PoissonDist}{\operatorname{PoissonDist}}
\newcommand{\GammaDist}{\operatorname{Gamma}}
\newcommand{\cind}[2]{\ind{#1\left| #2\right.}} % conditional indicator function
\renewcommand{\Pr}{\operatorname{Pr}}
\DeclarePairedDelimiterX{\cPrParens}[2]{(}{)}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
\newcommand{\Ev}{\operatorname{E}} % expected value
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
% physics
% unit of measurement
\newcommand{\second}{\text{s}}
\newcommand{\hertz}{\text{Hz}}
\newcommand{\decibel}{\text{dB}}
% signal processing
% Discrete Time Fourier Transform
\newcommand{\DTFT}{\operatorname{DTFT}}
\newcommand{\IDTFT}{\operatorname{IDTFT}}
% computer science
% fixed-point arithmetic
\newcommand{\IntPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{i}} % 0.140ex is half of the default thickness. See: [How to make underbracket thinner](https://tex.stackexchange.com/questions/559078/how-to-make-underbracket-thinner)
\newcommand{\DecPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{d}}
\newcommand{\TotalBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}}
\newcommand{\Rat}{\operatorname{Rat}} % Maps a fixed-point number to a corresponding rational number.
% programming
\newcommand{\plpl}{\mathrel{++}}
\newcommand{\pleq}{\mathrel{+}=}
\newcommand{\asteq}{\mathrel{*}=}
\]
\[
\newcommand{\Ts}{T_\text{s}}
\newcommand{\FT}{\mathcal{F}}
\newcommand{\xda}{x_{\text{d},1}}
\newcommand{\Xda}{X_{\text{d},1}}
\newcommand{\xdb}{x_{\text{d},2}}
\]
主張
記号を次のように定義する。
- $R\in\naturalNumbers,\;R\geq 2$ : オーバー・サンプリングレート
- $\xda:\integers\to\complexNumbers$ : 離散時間信号
- $\Ts>0$ : $\xda$ のサンプル周期
- $\Xda$ : $\xda$ のDTFT
- $\xdb$ : $\xda$ を $R$ 倍にオーバー・サンプリング(元の信号のサンプル同士の間に $R-1$ 個の0を追加)した離散時間信号
- $x_1$ : $\Ts$ をサンプル周期として $\xda$ の0次ホールドで生成した階段状の連続時間信号
- $x_2$ : $\Ts/R$ をサンプル周期として $\xdb$ の0次ホールドで生成した階段状の連続時間信号
$u_1:\realNumbers\to\braces{0,1}$ を幅 $\Ts$ のパルスとする。
\[ u_1(t) = \begin{cases} 1 & 0\leq t < \Ts \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \]同様に $u_2:\realNumbers\to\braces{0,1}$ を幅 $\Ts/R$ のパルスとする。
$x_1$ は次式で表される。
\[ x_1(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)u_1(t-n\Ts) \]$x_2$ は次式で表される。
\[ x_2(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty \xdb(n)u_2(t-n\Ts/R) = \sum_{m=-\infty}^\infty \xdb(R m)u_2(t-m\Ts) = \sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)u_2(t-n\Ts) \]次の図は $\Ts=1,R=4,\xda(n) = \sin\parens{2\pi*n/12}\;(0\leq n\leq 24),\;\xda(n) = 0\;(n<0,24<n)$ の例である。
以上の下、 $x_2$ のFourier変換 $X_2$ は次式である。
\[ X_2(\omega) = \frac{\Ts}{R\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i\frac{\Ts}{2R}\omega}\parens*{\sinc \frac{\Ts}{2R}\omega}\Xda(\omega) \]導出
\[ X_2(\omega) = \FT\parens*{\sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)u_2(t-n\Ts)}(\omega) = \sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)\FT\parens*{u_2(t-n\Ts)}(\omega) \]ここで、別の記事「理想的なDACの出力の周波数スペクトラム」と同様にして次式が成り立つ。
\[ \FT\parens*{u_2(t-n\Ts)}(\omega) = \frac{\Ts}{R\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i \omega n\Ts}\exp\parens*{-i\frac{\omega\Ts}{2R}}\sinc\frac{\omega\Ts}{2R} \]よって次式が成り立つ。
\begin{align*} X_2(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)\frac{\Ts}{R\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i \omega n\Ts}\exp\parens*{-i\frac{\omega\Ts}{2R}}\sinc\frac{\omega\Ts}{2R} \\ &= \frac{\Ts}{R\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i\frac{\omega\Ts}{2R}}\parens*{\sinc\frac{\omega\Ts}{2R}} \sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)\exp\parens*{-i \omega n\Ts} \\ &= \frac{\Ts}{R\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i\frac{\omega\Ts}{2R}}\parens*{\sinc\frac{\omega\Ts}{2R}} \Xda(\omega) \tag{a} \end{align*}$\square$
考察
オーバー・サンプリング前の信号 $x_1$ については「理想的なDACの出力の周波数スペクトラム」より、そのFourier変換は次式である。
\[ X_1(\omega) = \frac{\Ts}{\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i\frac{\Ts}{2}\omega}\parens*{\sinc \frac{\Ts}{2}\omega}\Xda(\omega) \tag{b} \]式(a),(b)を見比べると $\Xda$ を共通して含んでおり、それ以外の箇所でオーバー・サンプリングにより $\Ts$ が $\Ts/R$ に置き換わっていることがわかる。このことから、オーバー・サンプリングにより高調波の位置は変わらず、広域の減衰や位相回転が緩やかになることがわかる。次の図は図1に対応するDTFTとFourier変換の絶対値の例である。
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