はじめに
電気電子系のカリキュラムに於いてThevenin等価回路(テブナン等価回路)は誰もが教わるであろうが、筆者は当時これの証明に思いのほか苦戦した記憶がある。先日ふと思い出したので、ここに書き残しておく。
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% inverse trigonometric functions
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% complex analysis
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% physics
% unit of measurement
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% computer science
% fixed-point arithmetic
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% programming
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\]
主張
上図の回路Nのような、内部に電圧源と電流源を含む2端子線形回路$N$を考える。$N$の端子対A-Bを開放したときのA-B間の電位差を$V_0$とし、A-B間の内部インピーダンスを$Z_0$とする。このとき、端子対A-Bから見た$N$の振る舞いは上図の回路$\tilde{N}$と一致する。
導出
以下では電圧・電流はPhasor表示したものとする。上図の「回路Nと外部の電圧源」のように端子対A-Bに電圧$V$を出力する電圧源を接続し、Aから$N$に入り込む電流を$i$とする。$N$は線形回路であるから、$i$は$\alpha,\beta\in\complexNumbers$として$i(V) = \alpha V + \beta$なる関係に従う。まず明らかに$i(V_0)=0$である。次に$V=0$のときの電流を測定し、$i_0 \coloneqq i(0),\;Z_0′ \coloneqq -V_0/i_0$とする。ことのき、次に示す上図の回路N’の回路$N’$の端子対A’-B’から見た振る舞いは$N$と一致する。
$Z_0’$が$Z_0$と一致することを示す。線形回路に於ける重ね合わせの理から、上図の「回路Nと外部の電圧源」に於いて$V=V_0$としたときの電流$i=0$は$V=0$のときの電流$i(0)$と、$V=V_0$かつ回路$N$の内部の電源を全てoff(電圧源は短絡で、電流源は開放で置き換える)にしたときの電流$i_1$との和である。よって$i_1 = -i(0) = V_0/Z_0$であり、これは内部インピーダンス$Z_0$の回路内の電源をoffにして外部に電圧$V_0$の電圧源を接続したときに端子対に流れ込む電流と等しい。
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