はじめに
今読んでいる無線通信工学の本のOFDMの項に差し掛かった。巡回行列がDFT行列で対角化されることが証明無しに用いられたので、導出してみた。
\[
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% mathematics
% general purpose
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% Laplace transform
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% Discrete Fourier Transform
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% Z transform
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% linear algebra
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% graph theory
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% programming
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\]
主張
$N\in\naturalNumbers,\;a_0,a_1,\dots,a_{N-1}\in\complexNumbers,\;\bm{a}\coloneqq[a_0,\dots,a_{N-1}]^\top$とする。$\bm{a}$の要素を$m\in\{0,1,\dots,N-1\}$だけ巡回シフトしたベクトル$\bm{a}_m$を次式で定義する。
\[ \bm{a}_m \coloneqq \begin{cases} \bm{a} & (m=0) \\ [a_{N-m},\dots,a_{N-1},a_0,a_1,\dots,a_{N-1-m}]^\top & (m=1,2,\dots,N-1) \end{cases} \]$A\in\complexNumbers^{N\times N}$を次式で定義する。
\[ A \coloneqq [\bm{a}_0,\bm{a}_1,\dots,\bm{a}_{N-1}] \]このとき$A$は次のように対角化可能である。
\[ A = \sqrt{N}W\diag{\DFT{\bm{a}}}W^* \]ここに$W$は$N\times N$ DFT基底行列であり、第$(n,k)$要素は次式で定義される。
\[ W_{n,k} \coloneqq \frac{1}{\sqrt{N}}\exp i\frac{nk}{N}2\pi \]$\DFT{\bm{a}}$は$\bm{a}$のDFT(離散 Fourier 変換)であり、次式で定義される。
\[ \DFT{\bm{a}} \coloneqq W^*\bm{a} \]すなわち第$k$要素は次式である。
\[ \sum_{n=0}^{N-1}\overline{W_{k,n}}a_n \]導出
「離散 Fourier 変換」で述べられているDFTの性質を用いる。$\bm{e}_m\in\realNumbers^N$を第$m$要素が1でそれ以外は0のベクトルとする。$\bm{a}_m$は巡回畳み込みを用いて次式で表せる。
\[ \bm{a}_m = \cycConv{\bm{a}}{\bm{e}_m} \]巡回畳み込みのDFTの性質より次式が成り立つ。
\[ \DFT{\bm{a}_m} = \sqrt{N}\DFT{\bm{a}}\HadamardProd\DFT{\bm{e}_m} = \sqrt{N}\DFT{\bm{a}}\HadamardProd W^*[:,m] \]これより次式が成り立つ。
\begin{align*} W^*A &= [\DFT{\bm{a}_0},\DFT{\bm{a}_1},\dots,\DFT{\bm{a}_{N-1}}] \\ &= \sqrt{N}[\DFT{\bm{a}}\HadamardProd W^*[:,0],\DFT{\bm{a}}\HadamardProd W^*[:,1],\dots,\DFT{\bm{a}}\HadamardProd W^*[:,N-1]] \\ &= \sqrt{N}\diag{\DFT{\bm{a}}}W^* \end{align*}両辺に左から$W$を掛け、$W$のユニタリ性$WW^* = I$を用いて次式を得る。
\[ A = \sqrt{N}W\diag{\DFT{\bm{a}}}W^* \]