はじめに
レート変換に於いて Noble Identity と呼ばれるよく知られたブロック図の等価変換がある。これについて考えたことをメモしておく。
\[
% to cope with definition mismatch between MathJax and LaTeX
\newcommand{\coloneq}{\mathrel{:=}}
\newcommand{\eqcolon}{\mathrel{=:}}
% general purpose
\newcommand{\ctext}[1]{\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{#1}}}}
% mathematics
% general purpose
\DeclarePairedDelimiterX{\parens}[1]{\lparen}{\rparen}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\braces}[1]{\lbrace}{\rbrace}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\bracks}[1]{\lbrack}{\rbrack}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\verts}[1]{|}{|}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\Verts}[1]{\|}{\|}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\setComprehension}[2]{\lbrace}{\rbrace}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
\newcommand{\as}{{\quad\textrm{as}\quad}}
\newcommand{\st}{{\textrm{ s.t. }}}
\newcommand{\naturalNumbers}{\mathbb{N}}
\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\rationalNumbers}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\realNumbers}{\mathbb{R}}
\newcommand{\nonNegRealNumbers}{\mathbb{R}_{\geq 0}}
\newcommand{\posRealNumbers}{\mathbb{R}_{> 0}}
\newcommand{\complexNumbers}{\mathbb{C}}
\newcommand{\field}{\mathbb{F}}
\newcommand{\EuclideanSpace}{\mathbb{E}}
\newcommand{\argmax}{\operatorname*{arg~max}}
\newcommand{\argmin}{\operatorname*{arg~min}}
% set theory
\newcommand{\range}[2]{\braces*{#1,\dotsc,#2}}
\renewcommand{\complement}{\mathrm{c}}
\newcommand{\ind}[2]{\mathbbm{1}_{#1}\parens*{#2}}
\newcommand{\indII}[1]{\mathbbm{1}\braces*{#1}}
% number theory
\newcommand{\abs}[1]{\verts*{#1}}
\newcommand{\combi}[2]{{_{#1}\mathrm{C}_{#2}}}
\newcommand{\perm}[2]{{_{#1}\mathrm{P}_{#2}}}
\newcommand{\GaloisField}{\mathrm{GF}}
% real analysis
\newcommand{\NapierE}{\mathrm{e}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} % sign function
\newcommand{\rect}{\operatorname{rect}} % rectangular function
\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}} % closure of a set
\newcommand{\img}{\operatorname{im}} % image of a function
\newcommand{\dom}{\operatorname{dom}} % domain of a function
\newcommand{\LittleO}[2]{\underset{#1}{o}\parens*{#2}} % little-o notation
\newcommand{\norm}[1]{\Verts*{#1}} % norm of a vector or function
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\sinc}{\operatorname{sinc}}
\newcommand{\nrmSinc}{\operatorname{nsinc}} % normalized sinc function
\newcommand{\erf}{\operatorname{erf}}
% inverse trigonometric functions
\newcommand{\asin}{\operatorname{Sin}^{-1}}
\newcommand{\acos}{\operatorname{Cos}^{-1}}
\newcommand{\atan}{\operatorname{Tan}^{-1}}
% derivative
\newcommand{\deriv}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3}#1}{\mathrm{d}{#2}^{#3}}}
\newcommand{\derivLong}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3}}{\mathrm{d}{#2}^{#3}}#1}
\newcommand{\partDeriv}[3]{\frac{\mathrm{\partial}^{#3}#1}{\mathrm{\partial}{#2}^{#3}}}
\newcommand{\partDerivLong}[3]{\frac{\mathrm{\partial}^{#3}}{\mathrm{\partial}{#2}^{#3}}#1}
\newcommand{\partDerivIIHetero}[3]{\frac{\mathrm{\partial}^2#1}{\partial#2\mathrm{\partial}#3}}
\newcommand{\partDerivIIHeteroLong}[3]{{\frac{\mathrm{\partial}^2}{\partial#2\mathrm{\partial}#3}#1}}
% integral
\newcommand{\pv}{{\textrm{ p.v. }}}
\newcommand{\integrate}[5]{\int_{#1}^{#2}{#3}{\;\mathrm{d}^{#4}}#5}
\newcommand{\LebInteg}[4]{\int_{#1} {#2} {#3}\parens*{\;\mathrm{d}#4}}
% complex analysis
\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Log}{\operatorname{Log}}
% Laplace transform
\newcommand{\LPLC}{\operatorname{\mathcal{L}}}
\newcommand{\ILPLC}{\operatorname{\mathcal{L}}^{-1}}
% discrete fourier transform
\newcommand{\DFT}{\operatorname{DFT}}
\newcommand{\IDFT}{\operatorname{IDFT}}
% Z-transform
\newcommand{\ZTrans}{\operatorname{\mathcal{Z}}}
\newcommand{\IZTrans}{\operatorname{\mathcal{Z}}^{-1}}
\newcommand{\SSZTrans}{\underset{\text{s.s.}}{\mathcal{Z}}} % single-sided Z-transform
% linear algebra
\newcommand{\bm}[1]{{\boldsymbol{#1}}}
\newcommand{\vecEntry}[2]{\bm{#1}\bracks*{#2}}
\newcommand{\matEntry}[3]{#1\bracks*{#2}\bracks*{#3}}
\newcommand{\matPart}[5]{\matEntry{#1}{#2:#3}{#4:#5}}
\newcommand{\minor}[3]{{#1}\bracks*{\setminus #2}\bracks*{\setminus #3}} % the minor of a matrix: row #2 and column #3 deleted
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\transpose}[1]{{#1}^\top}
\newcommand{\HerConj}[1]{{#1}^*}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\inProd}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle}
\newcommand{\dotProd}[2]{#1 \cdot #2}
\newcommand{\HadamardProd}{\odot}
\newcommand{\HadamardDiv}{\oslash}
\newcommand{\vecSpan}{\operatorname{span}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
% vector
% unit vector
\newcommand{\vix}{\bm{i}_x}
\newcommand{\viy}{\bm{i}_y}
\newcommand{\viz}{\bm{i}_z}
% graph theory
\newcommand{\neighborhood}{\mathcal{N}}
% probability theory
\newcommand{\PDF}{\operatorname{PDF}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Beta}{\operatorname{Beta}}
\newcommand{\ExpDist}{\operatorname{ExpDist}}
\newcommand{\ErlangDist}{\operatorname{ErlangDist}}
\newcommand{\PoissonDist}{\operatorname{PoissonDist}}
\newcommand{\GammaDist}{\operatorname{Gamma}}
\newcommand{\cind}[2]{\ind{#1\left| #2\right.}} % conditional indicator function
\renewcommand{\Pr}{\operatorname{Pr}}
\DeclarePairedDelimiterX{\cPrParens}[2]{(}{)}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
\newcommand{\Ev}{\operatorname{E}} % expected value
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
% physics
% unit of measurement
\newcommand{\second}{\text{s}}
\newcommand{\hertz}{\text{Hz}}
\newcommand{\decibel}{\text{dB}}
% signal processing
% Discrete Time Fourier Transform
\newcommand{\DTFT}{\operatorname{DTFT}}
\newcommand{\IDTFT}{\operatorname{IDTFT}}
% computer science
% fixed-point arithmetic
\newcommand{\IntPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{i}} % 0.140ex is half of the default thickness. See: [How to make underbracket thinner](https://tex.stackexchange.com/questions/559078/how-to-make-underbracket-thinner)
\newcommand{\DecPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{d}}
\newcommand{\TotalBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}}
\newcommand{\Rat}{\operatorname{Rat}} % Maps a fixed-point number to a corresponding rational number.
% programming
\newcommand{\plpl}{\mathrel{++}}
\newcommand{\pleq}{\mathrel{+}=}
\newcommand{\asteq}{\mathrel{*}=}
\]
本記事の内容は下記の資料にも記した。
Release v0.11.0 · motchy869/Signal-Processing-Memorandum (github.com)
「Noble Identity」
主張
Noble Identity については下記の Web ページで解説されている。
https://www.dsprelated.com/freebooks/sasp/Multirate_Noble_Identities.html
次の図は上記 Web ページからの引用したものである。
導出
\[
\newcommand\SH{\mathrm{S}_H}
\newcommand\StH{\mathrm{S}_\tilde{H}}
\newcommand\xLone{x_{\mathrm{L},1}}
\newcommand\xRone{x_\mathrm{R,1}}
\newcommand\yL{y_\mathrm{L}}
\newcommand\yR{y_\mathrm{R}}
\]
アップ・サンプリングの場合
Fig 1 の下段に着目する。z 変換が $H:\complexNumbers\to\complexNumbers$ で与えられるシステム $\SH$ のインパルス応答を $h:\integers\to\complexNumbers$ とする。$\SH$ は因果的なシステムであるとする$\parens{\forall n<0,\;h(n)=0}$。
z 変換が $\tilde{H}:z\mapsto H(z^N)$ で与えられるシステム $\StH$ のインパルス応答を $\tilde{h}:\integers\to\complexNumbers$ とすると、 z 変換の定義から次式が成り立つ。
\[ \tilde{h}(n) = \begin{cases} h(n/N) & (N\mid n) \\ 0 & (N\nmid n) \end{cases} \]図の左側のシステムに於いて、入力を $x:\integers\to\complexNumbers$、$\SH$ の出力を $\xLone:\integers\to\complexNumbers$、最終出力を $\yL:\integers\to\complexNumbers$ とすると次式が成り立つ。
\[ \begin{align*} \xLone(n) &= (h*x)(n) = \sum_{m=0}^\infty h(m)x(n-m) \\ \yL(n) &= \begin{cases} \xLone(n/N) & (N\mid n) \\ 0 & (N\nmid n) \end{cases} \\ &= \begin{cases} \sum_{m=0}^\infty h(m)x(n/N-m) & (N\mid n) \\ 0 & (N\nmid n) \end{cases} \end{align*} \]図の右側のシステムに於いて、$\uparrow N$ の出力を $\xRone$、最終出力を $\yR$ とすると次式が成り立つ。
\[ \begin{align*} \xRone(n) &= \begin{cases} x(n/N) & (N\mid n) \\ 0 & (N\nmid n) \end{cases} \\ \yR(n) &= (\tilde{h}*\xRone)(n) = \sum_{m=0}^\infty \tilde{h}(m)\xRone(n-m) \\ &= \sum_{l=0}^\infty \tilde{h}(lN)\xRone(n-lN) = \sum_{l=0}^\infty h(l)\xRone(n-lN) \\ &= \begin{cases} \sum_{l=0}^\infty h(l)x(n/N-l) & (N\mid n) \\ 0 & (N\nmid n) \end{cases} \end{align*} \]$\yL$ と $\yR$ は一致する。
$\square$
ダウン・サンプリングの場合
Fig 1 の上段に着目する。断りの無い限り、「アップ・サンプリングの場合」で定義した記号の意味を引き継ぐ。図の左側のシステムに於いて、入力を $x:\integers\to\complexNumbers$、$\downarrow N$ の出力を $\xLone:\integers\to\complexNumbers$、最終出力を $\yL:\integers\to\complexNumbers$ とすると次式が成り立つ。
\[ \begin{align*} \xLone(n) &= x(nN) \\ \yL(n) &= \sum_{m=0}^\infty h(m)\xLone(n-m) = \sum_{m=0}^\infty h(m)x((n-m)N) \end{align*} \]図の右側のシステムに於いて、$\StH$ の出力を $\xRone$、最終出力を $\yR$ とすると次式が成り立つ。
\[ \begin{align*} \xRone(n) &= \sum_{m=0}^\infty \tilde{h}(m)x(n-m) = \sum_{l=0}^\infty \tilde{h}(lN)x(n-lN) = \sum_{l=0}^\infty h(l)x(n-lN) \\ \yR(n) &= \xRone(nN) = \sum_{l=0}^\infty h(l)x((n-l)N) \end{align*} \]$\yL$ と $\yR$ は一致する。
$\square$
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