信号処理 Tips – 門前の小僧

はじめに

信号処理でしばしば現れる事実について計算結果を記しておく。

\arg \max \arg \min \providecommand ∁ rect \erf \providecommand ℜ \providecommand ℑ \providecommand Pr

正式名称をよく忘れる用語

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{i ω t} d^{} t = 2 π δ (ω) (ω \in R)$

$\sum_{n = - \infty}^{\infty} \exp (i ω n T_{s}) = \frac{2 π}{T_{s}} \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (ω - n \frac{2 π}{T_{s}}) (ω \in R, T s > 0)$

$F (f) : = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{i ω t} d^{} t$

$F (f g) (ω) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} (F * G) (ω)$

$F (f * g) (ω) = \sqrt{2 π} F (ω) G (ω)$

$A, σ > 0, f (t) = \exp (- t^{2} / (2 σ^{2}))$ のとき $F (f) (ω) = A σ \exp (- σ^{2} ω^{2} / 2)$

連続時間信号 $f : R \to C$ とサンプリング周期 $T_{s}$ ，区間 $[0, T_{s}]$ の単位ステップ関数 $u : R \to {0, 1}$ を考える。

$f$ をサンプリング周期 $T_{s}$ で0次ホールドした結果を $g$ すなわち

$g (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} f (n T_{s}) u (t - n T_{s})$

とすると、その Fourier 変換 $G$ は次式である。

$G (ω) = \frac{T_{s}}{\sqrt{2 π}} \exp (- i ω T_{s} / 2) (sinc \frac{ω T_{s}}{2}) \sum_{n = - \infty}^{\infty} f (n T_{s}) \exp (- i ω n T_{s})$

DSP and FPGA engineer working on measuring instrument. motchy のすべての投稿を表示