はじめに
離散時間信号をオーバー・サンプリングしてLPFを掛けずにDACで出力したときの周波数スペクトルを計算したい。DACの量子化誤差は無視する。本記事の内容は下記の資料にも記した。
Release v0.11.1 · motchy869/Signal-Processing-Memorandum (github.com)
「オーバー・サンプリングされた信号の周波数特性」
\[
% 汎用
\newcommand{\ctext}[1]{\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{#1}}}}
% 数学
% 汎用
\DeclarePairedDelimiterX{\parens}[1]{\lparen}{\rparen}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\braces}[1]{\lbrace}{\rbrace}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\bracks}[1]{\lbrack}{\rbrack}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\verts}[1]{|}{|}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\Verts}[1]{\|}{\|}{#1}
\newcommand{\as}{{\quad\textrm{as}\quad}}
\newcommand{\st}{{\textrm{ s.t. }}}
\DeclarePairedDelimiterX{\setComprehension}[2]{\lbrace}{\rbrace}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
\newcommand{\naturalNumbers}{\mathbb{N}}
\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\rationalNumbers}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\realNumbers}{\mathbb{R}}
\newcommand{\complexNumbers}{\mathbb{C}}
\newcommand{\field}{\mathbb{F}}
\newcommand{\func}[2]{{#1}\parens*{#2}}
\newcommand{\argmax}{\mathop{\textrm{arg~max}}}
\newcommand{\argmin}{\mathop{\textrm{arg~min}}}
% 集合論
\newcommand{\range}[2]{\braces*{#1,\dotsc,#2}}
\providecommand{\complement}{}\renewcommand{\complement}{\mathrm{c}}
\newcommand{\ind}[2]{\mathbbm{1}_{#1}\parens*{#2}}
\newcommand{\indII}[1]{\mathbbm{1}\braces*{#1}}
% 数論
\newcommand{\abs}[1]{\verts*{#1}}
\newcommand{\combi}[2]{{_{#1}\mathrm{C}_{#2}}}
\newcommand{\perm}[2]{{_{#1}\mathrm{P}_{#2}}}
\newcommand{\GaloisField}[1]{\mathrm{GF}\parens*{#1}}
% 解析学
\newcommand{\NapierE}{\mathrm{e}}
\newcommand{\sgn}[1]{\operatorname{sgn}\parens*{#1}}
\newcommand{\cl}[1]{\operatorname{cl}#1}
\newcommand{\Img}[1]{\operatorname{Img}\parens*{#1}}
\newcommand{\dom}[1]{\operatorname{dom}\parens*{#1}}
\newcommand{\norm}[1]{\Verts*{#1}}
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\expo}[1]{\exp\parens*{#1}}
\newcommand{\sinc}{\mathop{\textrm{sinc}}}
\newcommand{\GammaFunc}[1]{\Gamma\parens*{#1}}
\newcommand{\erf}{\mathop{\mathrm{erf}}}
% 逆三角関数
\newcommand{\asin}[1]{\operatorname{Sin}^{-1}{#1}}
\newcommand{\acos}[1]{\operatorname{Cos}^{-1}{#1}}
\newcommand{\atan}[1]{\operatorname{{Tan}^{-1}}{#1}}
\newcommand{\atanEx}[2]{\atan{\parens*{#1,#2}}}
% 畳み込み
\newcommand{\cycConv}[2]{{#1}\underset{\text{cyc}}{*}{#2}}
% 微分
\newcommand{\deriv}[3]{\frac{\operatorname{d}^{#3}#1}{\operatorname{d}{#2}^{#3}}}
\newcommand{\derivLong}[3]{\frac{\operatorname{d}^{#3}}{\operatorname{d}{#2}^{#3}}#1}
\newcommand{\partDeriv}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^{#3}#1}{\operatorname{\partial}{#2}^{#3}}}
\newcommand{\partDerivLong}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^{#3}}{\operatorname{\partial}{#2}^{#3}}#1}
\newcommand{\partDerivIIHetero}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^2#1}{\partial#2\operatorname{\partial}#3}}
\newcommand{\partDerivIIHeteroLong}[3]{{\frac{\operatorname{\partial}^2}{\partial#2\operatorname{\partial}#3}#1}}
% 積分
\newcommand{\integrate}[5]{\int_{#1}^{#2}{#3}{\mathrm{d}^{#4}}#5}
\newcommand{\LebInteg}[4]{\int_{#1} {#2} {#3}\parens*{\mathrm{d}#4}}
% 複素解析
\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
\providecommand{\Re}{}\renewcommand{\Re}[1]{{\operatorname{Re}{\parens*{#1}}}}
\providecommand{\Im}{}\renewcommand{\Im}[1]{{\operatorname{Im}{\parens*{#1}}}}
\newcommand{\Arg}[1]{\operatorname{Arg}{\parens*{#1}}}
\newcommand{\Log}[1]{\operatorname{Log}{#1}}
% ラプラス変換
\newcommand{\LPLC}[1]{\operatorname{\mathcal{L}}\parens*{#1}}
\newcommand{\ILPLC}[1]{\operatorname{\mathcal{L}}^{-1}\parens*{#1}}
% 離散Fourier変換
\newcommand{\DFT}[1]{\mathrm{DFT}\parens*{#1}}
% Z変換
\newcommand{\ZTrans}[1]{\operatorname{\mathcal{Z}}\parens*{#1}}
\newcommand{\IZTrans}[1]{\operatorname{\mathcal{Z}}^{-1}\parens*{#1}}
% 線形代数
\newcommand{\bm}[1]{{\boldsymbol{#1}}}
\newcommand{\matEntry}[3]{#1\bracks*{#2}\bracks*{#3}}
\newcommand{\matPart}[5]{\matEntry{#1}{#2:#3}{#4:#5}}
\newcommand{\diag}[1]{\operatorname{diag}\parens*{#1}}
\newcommand{\tr}[1]{\operatorname{tr}{\parens*{#1}}}
\newcommand{\inprod}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle}
\newcommand{\HadamardProd}{\odot}
\newcommand{\HadamardDiv}{\oslash}
\newcommand{\Span}[1]{\operatorname{span}\bracks*{#1}}
\newcommand{\Ker}[1]{\operatorname{Ker}\parens*{#1}}
\newcommand{\rank}[1]{\operatorname{rank}\parens*{#1}}
% ベクトル
% 単位ベクトル
\newcommand{\vix}{\bm{i}_x}
\newcommand{\viy}{\bm{i}_y}
\newcommand{\viz}{\bm{i}_z}
% 確率論
\newcommand{\PDF}[2]{\operatorname{PDF}\bracks*{#1,\;#2}}
\newcommand{\Ber}[1]{\operatorname{Ber}\parens*{#1}}
\newcommand{\Beta}[2]{\operatorname{Beta}\parens*{#1,#2}}
\newcommand{\ExpDist}[1]{\operatorname{ExpDist}\parens*{#1}}
\newcommand{\ErlangDist}[2]{\operatorname{ErlangDist}\parens*{#1,#2}}
\newcommand{\PoissonDist}[1]{\operatorname{PoissonDist}\parens*{#1}}
\newcommand{\GammaDist}[2]{\operatorname{Gamma}\parens*{#1,#2}}
\newcommand{\cind}[2]{\ind{#1\left| #2\right.}} %条件付き指示関数
\providecommand{\Pr}{}\renewcommand{\Pr}[1]{\operatorname{Pr}\parens*{#1}}
\newcommand{\cPr}[2]{\operatorname{Pr}\cPrParens{#1}{#2}}
\newcommand{\E}[2]{\operatorname{E}_{#1}\bracks*{#2}}
\newcommand{\cE}[3]{\E{#1}{\left.#2\right|#3}}
\newcommand{\Var}[2]{\operatorname{Var}_{#1}\bracks*{#2}}
\newcommand{\Cov}[2]{\operatorname{Cov}\bracks*{#1,#2}}
\newcommand{\CovMat}[1]{\operatorname{Cov}\bracks*{#1}}
% グラフ理論
\newcommand{\neighborhood}{\mathcal{N}}
% プログラミング
\newcommand{\plpl}{\mathrel{++}}
\newcommand{\pleq}{\mathrel{+}=}
\newcommand{\asteq}{\mathrel{*}=}
\]
\[
\newcommand{\Ts}{T_\text{s}}
\newcommand{\FT}[1]{\mathcal{F}\parens*{#1}}
\newcommand{\xda}{x_{\text{d},1}}
\newcommand{\Xda}{X_{\text{d},1}}
\newcommand{\xdb}{x_{\text{d},2}}
\]
主張
記号を次のように定義する。
- $R\in\naturalNumbers,\;R\geq 2$ : オーバー・サンプリングレート
- $\xda:\integers\to\complexNumbers$ : 離散時間信号
- $\Ts>0$ : $\xda$ のサンプル周期
- $\Xda$ : $\xda$ のDTFT
- $\xdb$ : $\xda$ を $R$ 倍にオーバー・サンプリング(元の信号のサンプル同士の間に $R-1$ 個の0を追加)した離散時間信号
- $x_1$ : $\Ts$ をサンプル周期として $\xda$ の0次ホールドで生成した階段状の連続時間信号
- $x_2$ : $\Ts/R$ をサンプル周期として $\xdb$ の0次ホールドで生成した階段状の連続時間信号
$u_1:\realNumbers\to\braces{0,1}$ を幅 $\Ts$ のパルスとする。
\[ u_1(t) = \begin{cases} 1 & 0\leq t < \Ts \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \]同様に $u_2:\realNumbers\to\braces{0,1}$ を幅 $\Ts/R$ のパルスとする。
$x_1$ は次式で表される。
\[ x_1(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)u_1(t-n\Ts) \]$x_2$ は次式で表される。
\[ x_2(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty \xdb(n)u_2(t-n\Ts/R) = \sum_{m=-\infty}^\infty \xdb(R m)u_2(t-m\Ts) = \sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)u_2(t-n\Ts) \]次の図は $\Ts=1,R=4,\xda(n) = \sin\parens{2\pi*n/12}\;(0\leq n\leq 24),\;\xda(n) = 0\;(n<0,24<n)$ の例である。
以上の下、 $x_2$ のFourier変換 $X_2$ は次式である。
\[ X_2(\omega) = \frac{\Ts}{R\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i\frac{\Ts}{2R}\omega}\parens*{\sinc \frac{\Ts}{2R}\omega}\Xda(\omega) \]導出
\[ X_2(\omega) = \FT{\sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)u_2(t-n\Ts)}(\omega) = \sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)\FT{u_2(t-n\Ts)}(\omega) \]ここで、別の記事「理想的なDACの出力の周波数スペクトラム」と同様にして次式が成り立つ。
\[ \FT{u_2(t-n\Ts)}(\omega) = \frac{\Ts}{R\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i \omega n\Ts}\exp\parens*{-i\frac{\omega\Ts}{2R}}\sinc\frac{\omega\Ts}{2R} \]よって次式が成り立つ。
\begin{align*} X_2(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)\frac{\Ts}{R\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i \omega n\Ts}\exp\parens*{-i\frac{\omega\Ts}{2R}}\sinc\frac{\omega\Ts}{2R} \\ &= \frac{\Ts}{R\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i\frac{\omega\Ts}{2R}}\parens*{\sinc\frac{\omega\Ts}{2R}} \sum_{n=-\infty}^\infty \xda(n)\exp\parens*{-i \omega n\Ts} \\ &= \frac{\Ts}{R\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i\frac{\omega\Ts}{2R}}\parens*{\sinc\frac{\omega\Ts}{2R}} \Xda(\omega) \tag{a} \end{align*}$\square$
考察
オーバー・サンプリング前の信号 $x_1$ については「理想的なDACの出力の周波数スペクトラム」より、そのFourier変換は次式である。
\[ X_1(\omega) = \frac{\Ts}{\sqrt{2\pi}}\exp\parens*{-i\frac{\Ts}{2}\omega}\parens*{\sinc \frac{\Ts}{2}\omega}\Xda(\omega) \tag{b} \]式(a),(b)を見比べると $\Xda$ を共通して含んでおり、それ以外の箇所でオーバー・サンプリングにより $\Ts$ が $\Ts/R$ に置き換わっていることがわかる。このことから、オーバー・サンプリングにより高調波の位置は変わらず、広域の減衰や位相回転が緩やかになることがわかる。次の図は図1に対応するDTFTとFourier変換の絶対値の例である。
