\[
% to cope with definition mismatch between MathJax and LaTeX
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% general purpose
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% mathematics
% general purpose
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% set theory
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% number theory
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% real analysis
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\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} % sign function
\newcommand{\rect}{\operatorname{rect}} % rectangular function
\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}} % closure of a set
\newcommand{\img}{\operatorname{im}} % image of a function
\newcommand{\dom}{\operatorname{dom}} % domain of a function
\newcommand{\LittleO}[2]{\underset{#1}{o}\parens*{#2}} % little-o notation
\newcommand{\norm}[1]{\Verts*{#1}} % norm of a vector or function
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1\right\rfloor}
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\newcommand{\nrmSinc}{\operatorname{nsinc}} % normalized sinc function
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% inverse trigonometric functions
\newcommand{\asin}{\operatorname{Sin}^{-1}}
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% derivative
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% integral
\newcommand{\pv}{{\textrm{ p.v. }}}
\newcommand{\integrate}[5]{\int_{#1}^{#2}{#3}{\;\mathrm{d}^{#4}}#5}
\newcommand{\LebInteg}[4]{\int_{#1} {#2} {#3}\parens*{\;\mathrm{d}#4}}
% complex analysis
\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
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\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Log}{\operatorname{Log}}
% Laplace transform
\newcommand{\LPLC}{\operatorname{\mathcal{L}}}
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% discrete fourier transform
\newcommand{\DFT}{\operatorname{DFT}}
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% Z-transform
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\newcommand{\SSZTrans}{\underset{\text{s.s.}}{\mathcal{Z}}} % single-sided Z-transform
% linear algebra
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% vector
% unit vector
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% graph theory
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% probability theory
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\newcommand{\cind}[2]{\ind{#1\left| #2\right.}} % conditional indicator function
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\DeclarePairedDelimiterX{\cPrParens}[2]{(}{)}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
\newcommand{\Ev}{\operatorname{E}} % expected value
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
% physics
% unit of measurement
\newcommand{\second}{\text{s}}
\newcommand{\hertz}{\text{Hz}}
\newcommand{\decibel}{\text{dB}}
% signal processing
% Discrete Time Fourier Transform
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\newcommand{\IDTFT}{\operatorname{IDTFT}}
% computer science
% fixed-point arithmetic
\newcommand{\IntPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{i}} % 0.140ex is half of the default thickness. See: [How to make underbracket thinner](https://tex.stackexchange.com/questions/559078/how-to-make-underbracket-thinner)
\newcommand{\DecPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{d}}
\newcommand{\TotalBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}}
\newcommand{\Rat}{\operatorname{Rat}} % Maps a fixed-point number to a corresponding rational number.
% programming
\newcommand{\plpl}{\mathrel{++}}
\newcommand{\pleq}{\mathrel{+}=}
\newcommand{\asteq}{\mathrel{*}=}
\]
はじめに
信号処理に於いて、時刻 $n$ 毎に直近 $N$ 個のサンプルの(時間的に逆向きの)DFTを計算したい状況がある。例えばDCTによる近似的な直交変換 LMS (Least Mean Square) アルゴリズムがそうである。その際に毎度 $N$ 点FFTを実行すると毎時刻 $O(N\log N)$ の計算量となる。しかし実は漸化式を用いてこれを回避し、毎度 $O(N)$ の計算量とする方法がある([1] p65)。本記事ではこれについて述べ、Mathematicaによる数値例を載せる。
問題の定式化と計算量の削減
1次元離散時間信号 $x: \mathbb{Z} \to \complexNumbers$ の過去 $N$ 点の DFT $X: \{0,1,\dots,N-1\}\times\mathbb{Z} \to \complexNumbers$ を次式で定義する。
\[ X(k,n) := \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{m=0}^{N-1} x(n-m) \exp\left(-i\frac{km}{N}2\pi\right) \quad (k=0,1,\dots,N-1) \tag{1} \]これを毎時刻FFTで計算すると、毎度 $O(N\log_2 N)$ の計算量となるが、以下で説明する方法で $O(N)$ の計算量に改善する。
式 (1) を線形時不変システムの入出力関係式と見て $n$ に関してz変換すると次式を得る。
\[ \begin{align*} \mathcal{Z}[X(k,\cdot)](z) &= \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{m=0}^{N-1} z^{-m}\mathcal{Z}[x](z) \exp\left(-i\frac{km}{N}2\pi\right) \\ &= \mathcal{Z}[x](z) \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{m=0}^{N-1} z^{-m} w^m \quad \text{where} \quad w \coloneqq \exp\left(-i\frac{k}{N}2\pi\right) \\ &= \mathcal{Z}[x](z) \frac{1}{\sqrt{N}} \frac{1 – w^N z^{-N}}{1 – w z^{-1}} = \mathcal{Z}[x](z) \frac{1}{\sqrt{N}} \frac{1 – z^{-N}}{1 – w z^{-1}} \\ \mathcal{Z}[X(k,\cdot)](z) &= wz^{-1}\mathcal{Z}[X(k,\cdot)](z) + \frac{1}{\sqrt{N}}\left(1 – z^{-N}\right) \mathcal{Z}[x](z) \end{align*} \]これを逆z変換して次式を得る。
\[ X(k,n) = w X(k,n-1) + \frac{1}{\sqrt{N}} \left(x(n) – x(n-N)\right) \]数値例
次のMathematicaノートブックでは次数2の安定なIIRフィルタにGaussianノイズを入力した結果の信号(サンプル数4096)に対して毎時刻、過去256サンプルの時間的に逆行するDFTを行う(回転因子の回転方向が逆になる)。それらのDFTの平均値を出力としている。最後に毎時刻FFTを行うnaiveな方法と、先程説明した方法で計算した結果の差を比較し、誤差が十分小さいことを確認している。
注意点としては、僅かずつ計算誤差が蓄積するため、長時間実行するケースでは定期的なリセット(過去サンプルのFFTを普通に計算)が必要である点を挙げておく。
参考文献
- 飯國洋二 (2000)『適応信号処理アルゴリズム』培風館
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