はじめに
今読んでいる無線通信工学の本のOFDMの項に差し掛かった。巡回行列がDFT行列で対角化されることが証明無しに用いられたので、導出してみた。
\[
% 汎用
\newcommand{\ctext}[1]{\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{#1}}}}
% 数学
% 汎用
\DeclarePairedDelimiterX{\parens}[1]{\lparen}{\rparen}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\braces}[1]{\lbrace}{\rbrace}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\bracks}[1]{\lbrack}{\rbrack}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\verts}[1]{|}{|}{#1}
\DeclarePairedDelimiterX{\Verts}[1]{\|}{\|}{#1}
\newcommand{\as}{{\quad\textrm{as}\quad}}
\newcommand{\st}{{\textrm{ s.t. }}}
\DeclarePairedDelimiterX{\setComprehension}[2]{\lbrace}{\rbrace}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
\newcommand{\naturalNumbers}{\mathbb{N}}
\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\rationalNumbers}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\realNumbers}{\mathbb{R}}
\newcommand{\complexNumbers}{\mathbb{C}}
\newcommand{\field}{\mathbb{F}}
\newcommand{\func}[2]{{#1}\parens*{#2}}
\newcommand{\argmax}{\mathop{\textrm{arg~max}}}
\newcommand{\argmin}{\mathop{\textrm{arg~min}}}
% 集合論
\newcommand{\range}[2]{\braces*{#1,\dotsc,#2}}
\providecommand{\complement}{}\renewcommand{\complement}{\mathrm{c}}
\newcommand{\ind}[2]{\mathbbm{1}_{#1}\parens*{#2}}
\newcommand{\indII}[1]{\mathbbm{1}\braces*{#1}}
% 数論
\newcommand{\abs}[1]{\verts*{#1}}
\newcommand{\combi}[2]{{_{#1}\mathrm{C}_{#2}}}
\newcommand{\perm}[2]{{_{#1}\mathrm{P}_{#2}}}
\newcommand{\GaloisField}[1]{\mathrm{GF}\parens*{#1}}
% 解析学
\newcommand{\NapierE}{\mathrm{e}}
\newcommand{\sgn}[1]{\operatorname{sgn}\parens*{#1}}
\newcommand{\cl}[1]{\operatorname{cl}#1}
\newcommand{\Img}[1]{\operatorname{Img}\parens*{#1}}
\newcommand{\dom}[1]{\operatorname{dom}\parens*{#1}}
\newcommand{\norm}[1]{\Verts*{#1}}
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\expo}[1]{\exp\parens*{#1}}
\newcommand{\sinc}{\mathop{\textrm{sinc}}}
\newcommand{\GammaFunc}[1]{\Gamma\parens*{#1}}
\newcommand{\erf}{\mathop{\mathrm{erf}}}
% 逆三角関数
\newcommand{\asin}[1]{\operatorname{Sin}^{-1}{#1}}
\newcommand{\acos}[1]{\operatorname{Cos}^{-1}{#1}}
\newcommand{\atan}[1]{\operatorname{{Tan}^{-1}}{#1}}
\newcommand{\atanEx}[2]{\atan{\parens*{#1,#2}}}
% 畳み込み
\newcommand{\cycConv}[2]{{#1}\underset{\text{cyc}}{*}{#2}}
% 微分
\newcommand{\deriv}[3]{\frac{\operatorname{d}^{#3}#1}{\operatorname{d}{#2}^{#3}}}
\newcommand{\derivLong}[3]{\frac{\operatorname{d}^{#3}}{\operatorname{d}{#2}^{#3}}#1}
\newcommand{\partDeriv}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^{#3}#1}{\operatorname{\partial}{#2}^{#3}}}
\newcommand{\partDerivLong}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^{#3}}{\operatorname{\partial}{#2}^{#3}}#1}
\newcommand{\partDerivIIHetero}[3]{\frac{\operatorname{\partial}^2#1}{\partial#2\operatorname{\partial}#3}}
\newcommand{\partDerivIIHeteroLong}[3]{{\frac{\operatorname{\partial}^2}{\partial#2\operatorname{\partial}#3}#1}}
% 積分
\newcommand{\integrate}[5]{\int_{#1}^{#2}{#3}{\mathrm{d}^{#4}}#5}
\newcommand{\LebInteg}[4]{\int_{#1} {#2} {#3}\parens*{\mathrm{d}#4}}
% 複素解析
\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
\providecommand{\Re}{}\renewcommand{\Re}[1]{{\operatorname{Re}{\parens*{#1}}}}
\providecommand{\Im}{}\renewcommand{\Im}[1]{{\operatorname{Im}{\parens*{#1}}}}
\newcommand{\Arg}[1]{\operatorname{Arg}{\parens*{#1}}}
\newcommand{\Log}[1]{\operatorname{Log}{#1}}
% ラプラス変換
\newcommand{\LPLC}[1]{\operatorname{\mathcal{L}}\parens*{#1}}
\newcommand{\ILPLC}[1]{\operatorname{\mathcal{L}}^{-1}\parens*{#1}}
% 離散Fourier変換
\newcommand{\DFT}[1]{\mathrm{DFT}\parens*{#1}}
% Z変換
\newcommand{\ZTrans}[1]{\operatorname{\mathcal{Z}}\parens*{#1}}
\newcommand{\IZTrans}[1]{\operatorname{\mathcal{Z}}^{-1}\parens*{#1}}
% 線形代数
\newcommand{\bm}[1]{{\boldsymbol{#1}}}
\newcommand{\matEntry}[3]{#1\bracks*{#2}\bracks*{#3}}
\newcommand{\matPart}[5]{\matEntry{#1}{#2:#3}{#4:#5}}
\newcommand{\diag}[1]{\operatorname{diag}\parens*{#1}}
\newcommand{\tr}[1]{\operatorname{tr}{\parens*{#1}}}
\newcommand{\inprod}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle}
\newcommand{\HadamardProd}{\odot}
\newcommand{\HadamardDiv}{\oslash}
\newcommand{\Span}[1]{\operatorname{span}\bracks*{#1}}
\newcommand{\Ker}[1]{\operatorname{Ker}\parens*{#1}}
\newcommand{\rank}[1]{\operatorname{rank}\parens*{#1}}
% ベクトル
% 単位ベクトル
\newcommand{\vix}{\bm{i}_x}
\newcommand{\viy}{\bm{i}_y}
\newcommand{\viz}{\bm{i}_z}
% 確率論
\newcommand{\PDF}[2]{\operatorname{PDF}\bracks*{#1,\;#2}}
\newcommand{\Ber}[1]{\operatorname{Ber}\parens*{#1}}
\newcommand{\Beta}[2]{\operatorname{Beta}\parens*{#1,#2}}
\newcommand{\ExpDist}[1]{\operatorname{ExpDist}\parens*{#1}}
\newcommand{\ErlangDist}[2]{\operatorname{ErlangDist}\parens*{#1,#2}}
\newcommand{\PoissonDist}[1]{\operatorname{PoissonDist}\parens*{#1}}
\newcommand{\GammaDist}[2]{\operatorname{Gamma}\parens*{#1,#2}}
\newcommand{\cind}[2]{\ind{#1\left| #2\right.}} %条件付き指示関数
\providecommand{\Pr}{}\renewcommand{\Pr}[1]{\operatorname{Pr}\parens*{#1}}
\newcommand{\cPr}[2]{\operatorname{Pr}\cPrParens{#1}{#2}}
\newcommand{\E}[2]{\operatorname{E}_{#1}\bracks*{#2}}
\newcommand{\cE}[3]{\E{#1}{\left.#2\right|#3}}
\newcommand{\Var}[2]{\operatorname{Var}_{#1}\bracks*{#2}}
\newcommand{\Cov}[2]{\operatorname{Cov}\bracks*{#1,#2}}
\newcommand{\CovMat}[1]{\operatorname{Cov}\bracks*{#1}}
% グラフ理論
\newcommand{\neighborhood}{\mathcal{N}}
% プログラミング
\newcommand{\plpl}{\mathrel{++}}
\newcommand{\pleq}{\mathrel{+}=}
\newcommand{\asteq}{\mathrel{*}=}
\]
主張
$N\in\naturalNumbers,\;a_0,a_1,\dots,a_{N-1}\in\complexNumbers,\;\bm{a}\coloneqq[a_0,\dots,a_{N-1}]^\top$とする。$\bm{a}$の要素を$m\in\{0,1,\dots,N-1\}$だけ巡回シフトしたベクトル$\bm{a}_m$を次式で定義する。
\[ \bm{a}_m \coloneqq \begin{cases} \bm{a} & (m=0) \\ [a_{N-m},\dots,a_{N-1},a_0,a_1,\dots,a_{N-1-m}]^\top & (m=1,2,\dots,N-1) \end{cases} \]$A\in\complexNumbers^{N\times N}$を次式で定義する。
\[ A \coloneqq [\bm{a}_0,\bm{a}_1,\dots,\bm{a}_{N-1}] \]このとき$A$は次のように対角化可能である。
\[ A = \sqrt{N}W\diag{\DFT{\bm{a}}}W^* \]ここに$W$は$N\times N$ DFT基底行列であり、第$(n,k)$要素は次式で定義される。
\[ W_{n,k} \coloneqq \frac{1}{\sqrt{N}}\exp i\frac{nk}{N}2\pi \]$\DFT{\bm{a}}$は$\bm{a}$のDFT(離散 Fourier 変換)であり、次式で定義される。
\[ \DFT{\bm{a}} \coloneqq W^*\bm{a} \]すなわち第$k$要素は次式である。
\[ \sum_{n=0}^{N-1}\overline{W_{k,n}}a_n \]導出
「離散 Fourier 変換」で述べられているDFTの性質を用いる。$\bm{e}_m\in\realNumbers^N$を第$m$要素が1でそれ以外は0のベクトルとする。$\bm{a}_m$は巡回畳み込みを用いて次式で表せる。
\[ \bm{a}_m = \cycConv{\bm{a}}{\bm{e}_m} \]巡回畳み込みのDFTの性質より次式が成り立つ。
\[ \DFT{\bm{a}_m} = \sqrt{N}\DFT{\bm{a}}\HadamardProd\DFT{\bm{e}_m} = \sqrt{N}\DFT{\bm{a}}\HadamardProd W^*[:,m] \]これより次式が成り立つ。
\begin{align*} W^*A &= [\DFT{\bm{a}_0},\DFT{\bm{a}_1},\dots,\DFT{\bm{a}_{N-1}}] \\ &= \sqrt{N}[\DFT{\bm{a}}\HadamardProd W^*[:,0],\DFT{\bm{a}}\HadamardProd W^*[:,1],\dots,\DFT{\bm{a}}\HadamardProd W^*[:,N-1]] \\ &= \sqrt{N}\diag{\DFT{\bm{a}}}W^* \end{align*}両辺に左から$W$を掛け、$W$のユニタリ性$WW^* = I$を用いて次式を得る。
\[ A = \sqrt{N}W\diag{\DFT{\bm{a}}}W^* \]