GaussianノイズのDTFT

はじめに

工学の分野でしばしば登場するノイズのモデルとして white Gaussian noise があるが、 white である(エネルギー・スペクトラム密度が平坦である)理由を筆者は今まで考えたことが無かった。今更ながら気になったので考察する。正規分布する複素数サンプル時系列データの DTFT (離散時間 Fourier 変換)のエネルギー・スペクトラム密度が確率変数であり、分布が周波数に依らず一定であることを導出した後、数値実験の結果を載せる。

主張

$N\in \mathbb{N},\sigma >0$とする。連続時間信号$X:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$は確率変数であるとする。これをサンプリング周期$T_{\text{s}}>0$でサンプリングした$N$個の確率変数$X_n=X(n{T}_{\text{s}})(n=0,1,\cdots ,N-1)$は互いに独立であり、自身の実部と虚部も独立であり、それぞれ$N(0,\sigma )$に従うとする。数列$\{X_n\}$の DTFT を$Y:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$とすると、$|Y(\omega ){|}^2/(N{\sigma }^2)$は${\chi }_2^2$に従う。

導出

$[\mathrm{Re}\left(X_n\right),\mathrm{Im}\left(X_n\right){]}^{\mathrm{\top }}\sim N(\mathbf{0},\sigma I_2)$である。ここに$I_2$は2次の単位行列である。$Y(\omega )=\sum _{n=0}^{N-1}{X}_n{e}^{-j\omega T_{\text{s}}n}$であるが、$X_n{e}^{-j\omega T_{\text{s}}n}$は$X_n$を$-\omega T_{\text{s}}n$だけ回転させたものであり、これもまた$N(\mathbf{0},\sigma I_2)$に従う。正規分布の再生性から$Y(\omega )$は$N(\mathbf{0},\sqrt{N}\sigma I_2)$に従う。$Y(\omega )/(\sqrt{N}\sigma )$の実部と虚部は独立でそれぞれ標準正規分布に従うので、$|Y(\omega ){|}^2/(N{\sigma }^2)$は${\chi }_2^2$に従う。

数値実験

ここでは、ディジタル無線のI,Q信号に加わる加法性ノイズを想定し、実部と虚部が独立に正規分布$N(0,\sigma )$に従う乱数列を考える。これを周波数$f_{\mathrm{samp}}=1\mathrm{kHz}$で10秒間サンプリングした$N={10}^4$個のサンプルの DTFT を 0.1 Hz 刻みで計算する。

以下に Mathematica による実装を示す。エネルギー・スペクトラム密度 (DTFT の絶対値の2乗)が確率分布し、分布が周波数に依らないことが確かめられる。また、エネルギー・スペクトラム密度を$N{\sigma }^2$で除した値の累積分布が${\chi }_2^2$分布のそれとよく一致することが確かめられる。