はじめに
工学の分野でしばしば登場するノイズのモデルとして white Gaussian noise があるが、 white である(エネルギー・スペクトラム密度が平坦である)理由を筆者は今まで考えたことが無かった。今更ながら気になったので考察する。正規分布する複素数サンプル時系列データの DTFT (離散時間 Fourier 変換)のエネルギー・スペクトラム密度が確率変数であり、分布が周波数に依らず一定であることを導出した後、数値実験の結果を載せる。
\[
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主張
$\newcommand{\Ts}{T_\text{s}}$
$N\in\naturalNumbers,\;\sigma>0$とする。連続時間信号$X:\realNumbers\to\complexNumbers$は確率変数であるとする。これをサンプリング周期$\Ts>0$でサンプリングした$N$個の確率変数$X_n = X(n\Ts)\;(n=0,1,\cdots,N-1)$は互いに独立であり、自身の実部と虚部も独立であり、それぞれ$N(0,\sigma)$に従うとする。数列$\{X_n\}$の DTFT を$Y:\realNumbers\to\complexNumbers$とすると、$|Y(\omega)|^2/(N\sigma^2)$は$\chi_2^2$に従う。
導出
$[\Re{X_n}, \Im{X_n}]^\top \sim N(\bm{0}, \sigma I_2)$である。ここに$I_2$は2次の単位行列である。$Y(\omega) = \sum_{n=0}^{N-1} X_n e^{-j\omega\Ts n}$であるが、$X_n e^{-j\omega\Ts n}$は$X_n$を$-\omega\Ts n$だけ回転させたものであり、これもまた$N(\bm{0}, \sigma I_2)$に従う。正規分布の再生性から$Y(\omega)$は$N(\bm{0}, \sqrt{N}\sigma I_2)$に従う。$Y(\omega)/(\sqrt{N}\sigma)$の実部と虚部は独立でそれぞれ標準正規分布に従うので、$|Y(\omega)|^2/(N\sigma^2)$は$\chi_2^2$に従う。
数値実験
ここでは、ディジタル無線のI,Q信号に加わる加法性ノイズを想定し、実部と虚部が独立に正規分布$N(0,\sigma)$に従う乱数列を考える。これを周波数$f_\mathrm{samp}=1\mathrm{kHz}$で10秒間サンプリングした$N=10^4$個のサンプルの DTFT を 0.1 Hz 刻みで計算する。
以下に Mathematica による実装を示す。エネルギー・スペクトラム密度 (DTFT の絶対値の2乗)が確率分布し、分布が周波数に依らないことが確かめられる。また、エネルギー・スペクトラム密度を$N\sigma^2$で除した値の累積分布が$\chi_2^2$分布のそれとよく一致することが確かめられる。
