end-fire型アレイアンテナの指向性

はじめに

今読んでいる本に、完全半波長ダイポールアンテナを直線上に配列したアレイアンテナが紹介されていた。配列軸と素子が平行な場合のbroadside型については放射指向性の数式が載っているが、配列軸と素子が垂直な場合のend-fire型は言及が浅く、数式が載っていないので導出してみた。broadside型,end-fire型両方について計算機による可視化もやってみた。

\[ % to cope with definition mismatch between MathJax and LaTeX \newcommand{\coloneq}{\mathrel{:=}} \newcommand{\eqcolon}{\mathrel{=:}} % general purpose \newcommand{\ctext}[1]{\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{#1}}}} % mathematics % general purpose \DeclarePairedDelimiterX{\parens}[1]{\lparen}{\rparen}{#1} \DeclarePairedDelimiterX{\braces}[1]{\lbrace}{\rbrace}{#1} \DeclarePairedDelimiterX{\bracks}[1]{\lbrack}{\rbrack}{#1} \DeclarePairedDelimiterX{\verts}[1]{|}{|}{#1} \DeclarePairedDelimiterX{\Verts}[1]{\|}{\|}{#1} \DeclarePairedDelimiterX{\setComprehension}[2]{\lbrace}{\rbrace}{#1\,\delimsize\vert\,#2} \newcommand{\as}{{\quad\textrm{as}\quad}} \newcommand{\st}{{\textrm{ s.t. }}} \newcommand{\naturalNumbers}{\mathbb{N}} \newcommand{\integers}{\mathbb{Z}} \newcommand{\rationalNumbers}{\mathbb{Q}} \newcommand{\realNumbers}{\mathbb{R}} \newcommand{\nonNegRealNumbers}{\mathbb{R}_{\geq 0}} \newcommand{\posRealNumbers}{\mathbb{R}_{> 0}} \newcommand{\complexNumbers}{\mathbb{C}} 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参考文献

三瓶政一, 前田忠彦, 岩井誠人, 市坪信一, 宮本伸一, 衣斐信介,岡田実 (2014)『ワイヤレス通信工学』オーム社

完全半波長ダイポールアンテナの放射電界

原点を中心としてz軸に平行に設置された完全半波長ダイポールアンテナの十分遠方(「放射界」と呼ばれる)に於ける放射電界のフェーザについて、次の式が知られている(文献[1]の式3.36)。

\begin{equation} \bm{E}(r,\theta) = j60I_0\frac{e^{-jkr}}{r}\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta}\bm{i}_\theta \label{完全半波長ダイポールアンテナの遠方領域での放射電界} \end{equation}

ここに$\omega$は正弦的な時間変化の角周波数、$k:=\omega\sqrt{\varepsilon\mu}=2\pi/\lambda$は波数、$\bm{i}_\theta$は球座標系に於ける$\theta$方向単位ベクトル、$I_0$はアンテナに流れる電流のフェーザの原点での値、すなわち給電点での電流フェーザである。電流の正の向きは$z$の増加方向とする。この式がアレイアンテナの放射電界の解析の基礎となる。

broadside型

broadside型は完全半波長ダイポールアンテナを素子間隔$d$を隔てて素子と並行な直線上に配列したものである。次の図はz軸方向に$N$本の素子を配列した様子である( 絵が下手なのはご愛嬌 )。

上図は$N$が奇数の場合である。偶数の場合は原点を挟んで上下にそれぞれ$d/2$だけずれた位置に素子が置かれることになる。最も下にある素子を#0と番号付けし、上に行くにつれて番号を1つずつ増やしていく。

全ての素子の電流の振幅を等しくし、番号が1増えるごとに電流の位相を$\delta$だけ増やした場合の、位相の基準を原点にとった「配列係数」は次式で与えられる(文献[1] 52頁)。導出は後述するend-fire型よりも容易であり、end-fire型の導出は本記事でこの後述べる。

\begin{equation} f_N(\theta) = \frac{\sin(N\psi/2)}{N\sin(\psi/2)} \label{配列係数} \end{equation}

ここに$\psi = kd\sin\theta + \delta$、$k=2\pi/\lambda$は波数である。念のために触れておくと、$\lim_{\psi\to 0}f_N(\theta) = 1$である。これと素子自体が持つ指向性の積がアンテナ系全体の指向性$D_\mathrm{t}(\theta,\varphi)$となり(文献[1] 52頁)、\eqref{完全半波長ダイポールアンテナの遠方領域での放射電界}より $D_\mathrm{t}(\theta,\varphi)$ は次式となる。

\[ D_\mathrm{t}(\theta,\varphi) = D(\theta)\frac{\sin(N\psi/2)}{N\sin(\psi/2)} \quad \text{where} \quad D(\theta) := \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta} \]

下図は$D(\theta)$をプロットしたものである。

このことから、z軸方向の放射強度は必ず0になる。よってbroadside型は上下に指向性を向けられるが、強放射領域はドーム型ではなく$z$軸を取り巻くリング状になる。下の図は$d=0.4\lambda$、$f_N(\theta)$の最大放射方向$=\pi/3$としたときの放射強度分布をプロットしたものである。強度が負の場所はフェーザの位相が反転することを意味する。

broadsideアレイアンテナの放射強度分布 — broadside型アレイアンテナの放射強度分布のプロット

end-fire型

下図のように、完全半波長ダイポールアンテナを$x$軸方向に$N$本配列する。

アレイの中心の電流位相を基準とし、$x$座標が最も小さいものを#0、最も大きいものを#N-1と番号付けする。原点から十分離れた位置$\bm{r}$に於ける放射電界のフェーザは、アレイを構成する各素子からの放射電界のフェーザすなわち式\eqref{完全半波長ダイポールアンテナの遠方領域での放射電界}を加算して求める。

そのためにまず、原点から$x$軸の正の向きに$d$だけ離れた位置に置かれた素子による放射電界のフェーザを求めておく。素子に対する観測点の相対座標を$\tilde{\bm{r}}$、その大きさを$\tilde{r}$とする。$\tilde{\bm{r}}$と$z$軸の正の向きが成す角を$\tilde{\theta}$とする。

式\eqref{完全半波長ダイポールアンテナの遠方領域での放射電界}この素子による放射電界は次式である。

$$ \begin{aligned} \bm{E}(d,r,\theta,\varphi) &= j60I_0\frac{e^{-jk\tilde{r}}}{\tilde{r}}\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\tilde{\theta}\right)}{\sin\tilde{\theta}}\bm{i}_{\tilde{\theta}} \\ &\approx j60I_0\frac{e^{-jk\tilde{r}}}{r}\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta}\bm{i}_\theta \\ &\approx j60I_0\frac{e^{-jkr+jkd\sin\theta\cos\varphi}}{r}\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta}\bm{i}_\theta \end{aligned} $$

上から2つ目の式の導出には次の事実を用いた。

$$ \begin{aligned} \tilde{r} &\approx r – \frac{\bm{r}}{r}\cdot[d,0,0]^\top = r – [\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta][d,0,0]^\top \\ &= r – d\sin\theta\cos\varphi \end{aligned} $$

この関係式の導出は別の記事で述べている。

これを用いてアレイの放射電界を求める。素子番号の増加とともに電流の位相を$\delta$だけ増加させるものとする。$N$本の素子の合成電界のフェーザ$\bm{E}_\mathrm{EF}(r,\theta,\varphi)$は次式である。

$$ \begin{aligned} \bm{E}_\mathrm{EF}(r,\theta,\varphi) &= \sum_{n=0}^{N-1} e^{j\delta(n-(N-1)/2)}\bm{E}\left(d\bigl(n-(N-1)/2\bigr),r,\theta,\varphi\right) \\ &\approx j60I_0\frac{e^{-jkr}}{r}\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta}\bm{i}_\theta \sum_{n=0}^{N-1} e^{j\psi(n-(N-1)/2)} \quad (\psi = \delta + kd\sin\theta\cos\varphi) \\ &= j60I_0\frac{e^{-jkr}}{r}\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta}\frac{\sin(N\psi/2)}{\sin(\psi/2)}\bm{i}_\theta \end{aligned} $$

$\sin(N\psi/2)/\sin(\psi/2)$は$2\pi$周期関数であり、$\sin\theta\cos\varphi=-\delta/(kd)+2m\pi\;(m\in\integers)$となるような$\theta,\varphi$に対して最大となる。最大値が1となるように規格化したものが前述の式\eqref{配列係数}である。$x$軸に平行な平面上では$\sin\theta\cos\varphi$が一定であるため、この配列係数は$x$軸周りに対称な形状をしている。

下の図は$d=0.4\lambda$、最大放射方向を$\theta=\pi/2,\varphi=0$としたときの放射強度分布をプロットしたものである。

broadside型と異なり、最大放射方向の中心に穴が無い。

可視化用Mathematicaコード

前掲の強度分布の計算に使ったMathematicaコードを示す。