はじめに
電磁理論を学ぶときに必ず出会う演習問題として、無限に長いソレノイドコイルに流れる定常電流が作る静磁界がある。教科書の解答例ではz軸方向の一様性と円柱対称性と磁場の発散が0であるという事実とMaxwell方程式の積分形を用いて磁界が中心軸からの距離のみに依存するz方向成分のみをもつベクトルであるという制約を導入して解くのが普通だと思う。この記事ではそういう技巧を敢えて使わずに、Biot-Savartの法則から積分によって機械的に計算してみる。
\[
% 汎用
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% 数学
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% 集合論
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\]
導出
以下ではデカルト座標系と円柱座標系を適材適所で用いる。ソレノイドの壁面の面電流密度を$\bm{J} = J\bm{i}_\varphi$とする。この電流分布が形成する静磁界を$\bm{H}$とする。系の円柱対称性, およびz軸方向の一様性から、$\bm{H}$は$r$のみに依存する関数である。よって観測点の円柱座標系座標が$\varphi=0, z=0$であるときの磁界を求めればよい。磁界の観測点$P$のデカルト座標を$\bm{r} = [r,0,0]^\top$とする。ソレノイドの壁面上に点$Q$をとり、そのデカルト座標を$\bm{r}_Q = [R\cos\varphi_Q, R\sin\varphi_Q, z_Q]^\top$とする。$\bm{r}_{PQ} := \bm{r}_P – \bm{r}_Q,\;r_{PQ} := \norm{\bm{r}_{PQ}}_2$とする。但し以下では$r\neq R$とする。Biot-Savartの法則より、次式が成り立つ。
\[ \bm{H}(r) = \frac{1}{4\pi}\integrate{0}{2\pi}{\integrate{-\infty}{\infty}{\frac{JR}{r_{PQ}^3}\bm{i}_\varphi\times\bm{r}_{PQ}}{}{z}}{}{\varphi} \tag{1} \]ここで
\begin{gather*} \bm{i}_\varphi\times\bm{r}_{PQ} = [-z\cos\varphi_Q, -z\sin\varphi_Q, R – r\cos\varphi_Q]^\top \\ r_{PQ}^3 = \bigl((r-R\cos\varphi_Q)^2 + R^2\sin^2\varphi_Q + z^2\bigr)^{3/2} \end{gather*}であり、これを式(1)に代入し、$\varphi_Q$に関する$0\to 2\pi$の積分で$\bm{H}(r)$の$x,y$成分が0になることから次式を得る。
\[ \bm{H}(r) = \bm{i}_z\frac{JR}{4\pi}\integrate{0}{2\pi}{(R-r\cos\varphi_Q)\integrate{-\infty}{\infty}{\frac{1}{\bigl((r-R\cos\varphi_Q)^2 + R^2\sin^2\varphi_Q + z^2\bigr)^{3/2}}}{}{z}}{}{\varphi_Q} \tag{2} \]$z$に関する積分を先に実行する。$b := (r-R\cos\varphi_Q)^2 + R^2\sin^2\varphi_Q > 0$とし、次の積分を計算する。
\[ \integrate{-\infty}{\infty}{\frac{1}{(b+z^2)^{3/2}}}{}{z} = 2\integrate{0}{\infty}{\frac{1}{(b+z^2)^{3/2}}}{}{z} = \frac{2}{b}\integrate{0}{\infty}{\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}}{}{x} \]ただし、上式では$z=\sqrt{b}x$なる変数変換を行った。$x = \tan\varphi$なる変数変換を行うと、$1+x^2 = 1/\cos^2\varphi,\;\mathrm{d}x = \mathrm{d}\varphi/\cos^2\varphi$より次式が成り立つ。
\[ \integrate{0}{\infty}{\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}}{}{x} = \integrate{0}{\pi/2}{\cos\varphi}{}{\varphi} = 1 \]これを式(2)に適用すると次式を得る。
\begin{align*} \bm{H}(r) &= \bm{i}_z\frac{JR}{2\pi}\integrate{0}{2\pi}{\frac{R-r\cos\varphi_Q}{(r-R\cos\varphi_Q)^2 + R^2\sin^2\varphi_Q}}{}{\varphi_Q} = \bm{i}_z\frac{JR}{2\pi}\integrate{0}{2\pi}{\frac{R-r\cos\varphi_Q}{R^2 + r^2 – 2rR\cos\varphi_Q}}{}{\varphi_Q} \\ &=: \bm{i}_z\frac{JR}{2\pi} I(r) \end{align*}但し積分記号を含むその右側を$I(r)$と置いた。
$I(r)$を複素積分を用いて計算する。被積分関数の分母に着目すると$R^2 + r^2 – 2rR\cos\varphi_Q = |R – re^{i\varphi_Q}|^2$である。また、分子に着目すると$R-r\cos\varphi_Q = \Re{R – re^{-i\varphi_Q}}$である(すぐ後で解るが、指数を-1倍しているのは被積分関数を正則にするためである)。そこで、被積分関数を
\[ f(z) := \frac{R-\overline{z}}{|R-z|^2 z} = \frac{1}{(R-z)z} \]とし、積分路を$C := re^{i\theta};\;\theta:0\to 2\pi$とすると、
\[ I_2(r) := \oint_C f(z)\mathrm{d}z = i\integrate{0}{2\pi}{\frac{R-r\cos\varphi_Q + ir\sin\varphi_Q}{R^2 + r^2 – 2rR\cos\varphi_Q}}{}{\varphi_Q} \]となる。よって$I(r) = \Im{I_2(r)}$である。$f$は原点に1位の極$1/R$をもち、$z=R$に1位の極$-1/R$を持つ。留数定理から次式が成り立つ。
\[ I_2(r) = \begin{cases} 2\pi i/R & (r < R) \\ 0 & (r > R) \end{cases} \]以上より次式が成り立つ。
\[ \bm{H}(r) = \begin{cases} J\bm{i}_z & (r < R) \\ \bm{0} & (r > R) \end{cases} \]