はじめに
思いがけず、球面上に一様分布する点群とその球座標との関係が気になって移動中に考えていた。答えが出たので書き残しておく。
\[
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% mathematics
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% set theory
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% number theory
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% real analysis
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% inverse trigonometric functions
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% integral
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% complex analysis
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% Laplace transform
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% discrete fourier transform
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% Z-transform
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% linear algebra
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% unit vector
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% graph theory
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% probability theory
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% physics
% unit of measurement
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% computer science
% fixed-point arithmetic
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% programming
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\]
$\theta,\varphi$は一様分布か？
球の半径を$r$としておく。球面上の点の自由度は2であり、ここでは球座標系で扱うことにする。$\theta,\varphi$を適切に生成できれば、それをEuclid空間上の点に変換すれば話は終わりである。
直感的には$\theta,\varphi$をそれぞれ区間$[0,\pi]$および$[0,2\pi)$の一様分布から生成すれば良いように思えるが、実はそうではない。なぜなら球面上の微小面積要素の面積は$\mathrm{d}S := r^2\sin\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi$であり、$\theta$に依存するからである。もし$\theta,\varphi$を一様分布から生成すれば、球面上の点群の密度(存在確率)は$1/\mathrm{d}S = 1/(r^2\sin\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi)$に比例し、極地に近づくにつれて密度が際限なく増大する。これでは点群は球面上に一様分布していない。
この歪みを補正するためには$\theta$か$\varphi$の分布を変更する必要があるが、$\theta,\varphi$の分布は独立にできた方が扱い易い。そこで$\theta$の側で補正を完結させる必要がある。といっても非常に簡単なことで、$\theta$の確率密度関数が$\sin\theta$に比例するようにすればよい。全積分が1になるように規格化し、$\theta$の分布は$(\sin\theta)/2$となる。
$\theta$の生成には逆関数法が使える。逆関数法についてはWikipediaの英語版記事が分かりやすい。今回の場合は$[0,1]$区間の一様分布からサンプリングした点群を$\cos^{-1}(1-2x)$で写すことで$\theta$のサンプルを生成できる。
数値実験
上で述べたことをMathematicaで実装したものを次に示す。
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