はじめに
ダウンサンプリング処理に於けるアンチエイリアシング・フィルタとして用いられる Nyquist N-th Band Filter について考える機会があった。本記事では定義と性質，その導出を記す。
\[
% to cope with definition mismatch between MathJax and LaTeX
\newcommand{\coloneq}{\mathrel{:=}}
\newcommand{\eqcolon}{\mathrel{=:}}
% general purpose
\newcommand{\ctext}[1]{\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{#1}}}}
% mathematics
% general purpose
\DeclarePairedDelimiterX{\parens}[1]{\lparen}{\rparen}{#1}
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\newcommand{\as}{{\quad\textrm{as}\quad}}
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\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
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% set theory
\newcommand{\range}[2]{\braces*{#1,\dotsc,#2}}
\renewcommand{\complement}{\mathrm{c}}
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\newcommand{\indII}[1]{\mathbbm{1}\braces*{#1}}
% number theory
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\newcommand{\perm}[2]{{_{#1}\mathrm{P}_{#2}}}
\newcommand{\GaloisField}{\mathrm{GF}}
% real analysis
\newcommand{\NapierE}{\mathrm{e}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} % sign function
\newcommand{\rect}{\operatorname{rect}} % rectangular function
\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}} % closure of a set
\newcommand{\img}{\operatorname{im}} % image of a function
\newcommand{\dom}{\operatorname{dom}} % domain of a function
\newcommand{\LittleO}[2]{\underset{#1}{o}\parens*{#2}} % little-o notation
\newcommand{\norm}[1]{\Verts*{#1}} % norm of a vector or function
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\sinc}{\operatorname{sinc}}
\newcommand{\nrmSinc}{\operatorname{nsinc}} % normalized sinc function
\newcommand{\erf}{\operatorname{erf}}
% inverse trigonometric functions
\newcommand{\asin}{\operatorname{Sin}^{-1}}
\newcommand{\acos}{\operatorname{Cos}^{-1}}
\newcommand{\atan}{\operatorname{Tan}^{-1}}
% derivative
\newcommand{\deriv}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3}#1}{\mathrm{d}{#2}^{#3}}}
\newcommand{\derivLong}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3}}{\mathrm{d}{#2}^{#3}}#1}
\newcommand{\partDeriv}[3]{\frac{\mathrm{\partial}^{#3}#1}{\mathrm{\partial}{#2}^{#3}}}
\newcommand{\partDerivLong}[3]{\frac{\mathrm{\partial}^{#3}}{\mathrm{\partial}{#2}^{#3}}#1}
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\newcommand{\partDerivIIHeteroLong}[3]{{\frac{\mathrm{\partial}^2}{\partial#2\mathrm{\partial}#3}#1}}
% integral
\newcommand{\pv}{{\textrm{ p.v. }}}
\newcommand{\integrate}[5]{\int_{#1}^{#2}{#3}{\;\mathrm{d}^{#4}}#5}
\newcommand{\LebInteg}[4]{\int_{#1} {#2} {#3}\parens*{\;\mathrm{d}#4}}
% complex analysis
\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Log}{\operatorname{Log}}
% Laplace transform
\newcommand{\LPLC}{\operatorname{\mathcal{L}}}
\newcommand{\ILPLC}{\operatorname{\mathcal{L}}^{-1}}
% discrete fourier transform
\newcommand{\DFT}{\operatorname{DFT}}
\newcommand{\IDFT}{\operatorname{IDFT}}
% Z-transform
\newcommand{\ZTrans}{\operatorname{\mathcal{Z}}}
\newcommand{\IZTrans}{\operatorname{\mathcal{Z}}^{-1}}
\newcommand{\SSZTrans}{\underset{\text{s.s.}}{\mathcal{Z}}} % single-sided Z-transform
% linear algebra
\newcommand{\bm}[1]{{\boldsymbol{#1}}}
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\newcommand{\matEntry}[3]{#1\bracks*{#2}\bracks*{#3}}
\newcommand{\matPart}[5]{\matEntry{#1}{#2:#3}{#4:#5}}
\newcommand{\minor}[3]{{#1}\bracks*{\setminus #2}\bracks*{\setminus #3}} % the minor of a matrix: row #2 and column #3 deleted
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
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\newcommand{\inProd}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle}
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\newcommand{\vecSpan}{\operatorname{span}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
% vector
% unit vector
\newcommand{\vix}{\bm{i}_x}
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% graph theory
\newcommand{\neighborhood}{\mathcal{N}}
% probability theory
\newcommand{\PDF}{\operatorname{PDF}}
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\newcommand{\cind}[2]{\ind{#1\left| #2\right.}} % conditional indicator function
\renewcommand{\Pr}{\operatorname{Pr}}
\DeclarePairedDelimiterX{\cPrParens}[2]{(}{)}{#1\,\delimsize\vert\,#2}
\newcommand{\Ev}{\operatorname{E}} % expected value
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
% physics
% unit of measurement
\newcommand{\second}{\text{s}}
\newcommand{\hertz}{\text{Hz}}
\newcommand{\decibel}{\text{dB}}
% signal processing
% Discrete Time Fourier Transform
\newcommand{\DTFT}{\operatorname{DTFT}}
\newcommand{\IDTFT}{\operatorname{IDTFT}}
% computer science
% fixed-point arithmetic
\newcommand{\IntPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{i}} % 0.140ex is half of the default thickness. See: [How to make underbracket thinner](https://tex.stackexchange.com/questions/559078/how-to-make-underbracket-thinner)
\newcommand{\DecPartBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}_\mathrm{d}}
\newcommand{\TotalBW}[1]{\underbracket[0.140ex]{#1}}
\newcommand{\Rat}{\operatorname{Rat}} % Maps a fixed-point number to a corresponding rational number.
% programming
\newcommand{\plpl}{\mathrel{++}}
\newcommand{\pleq}{\mathrel{+}=}
\newcommand{\asteq}{\mathrel{*}=}
\]
定義
\[
\newcommand{\HDTFT}{H_\text{DTFT}}
\newcommand{\INyq}{I_\text{Nyq}}
\]
$N\in\naturalNumbers,\;N\geq 2,\;\INyq\coloneqq\cup_{k\in\integers}2\pi\parens*{\bracks{-1/N,1/N}+k}$ とする。係数 $h:\integers\to\complexNumbers$ の，正規化角周波数を引数とする DTFT を $\HDTFT$ とする。これが次の性質を満たすフィルタを Nyquist N-th Band Filter と呼ぶ。
- $\HDTFT(-\Omega) = \HDTFT(\Omega)$
- $\Omega\in\realNumbers\setminus\INyq\Rightarrow\HDTFT(\Omega)=0$
- $\sum_{k=0}^{N-1}\HDTFT\parens*{\Omega-\frac{k}{N}2\pi} = 1$
このフィルタは $1/N$ ダウンサンプリング処理に於けるアンチエイリアシング・フィルタとして用いられる。
Nyquist N-th Band Filter の性質
- $h$ は偶関数である
- $\HDTFT(\pi/N) = 1/2$
- $h(0)=1/N$
- $h(n)=0\quad(N\mid n,\;n\neq 0)$
性質の導出
性質 1
\[
\begin{align*}
h(-n) &= \frac{1}{2\pi}\integrate{-\pi}{\pi}{\HDTFT(\Omega)\exp\parens{-i\Omega n}}{}{\Omega} = \frac{1}{2\pi}\integrate{-\pi}{\pi}{\HDTFT(-\Omega)\exp\parens{i(-\Omega) n}}{}{\Omega} \\
&= -\frac{1}{2\pi}\integrate{\pi}{-\pi}{\HDTFT(\Omega’)\exp\parens{i\Omega’ n}}{}{\Omega’} \quad (\text{変数変換：}\Omega = -\Omega’) \\
&= \frac{1}{2\pi}\integrate{-\pi}{\pi}{\HDTFT(\Omega’)\exp\parens{i\Omega’ n}}{}{\Omega’} = h(n)
\end{align*}
\]
性質 2
定義の条件 3 で $\Omega=\pi/N$ として定義の条件 2 を適用すると $1 = \HDTFT(\pi/N) + \HDTFT(-\pi/N)$ である。これと定義の条件 2 より性質が従う。
性質 3, 4
定義の条件 3 の両辺を逆 DTFT する。任意の整数 $n$ に対して次式が成り立つ。
\[
\begin{align*}
\text{RHS} &= \frac{1}{2\pi}\integrate{-\pi}{\pi}{\exp(i\Omega n)}{}{\Omega} \\
\text{LHS} &= \sum_{k=0}^{N-1} \IDTFT\parens*{\Omega\mapsto\HDTFT\parens*{\Omega-\frac{k}{N}2\pi}}(n) = \sum_{k=0}^{N-1} \IDTFT\parens*{\DTFT\parens*{m\mapsto h(m)\exp\parens*{i\frac{k}{N}2\pi m}}}(n) \\
&= \sum_{k=0}^{N-1}h(n)\exp\parens*{i\frac{k}{N}2\pi n} = h(n)\sum_{k=0}^{N-1}\exp\parens*{i\frac{k}{N}2\pi n}
\end{align*}
\]
上式に於いて $n=0$ のときは $1 = Nh(0)$ であるので，$h(0)=1/N$ が従う。また，$n=mN\;(m\in\integers,\;m\neq 0)$ のとき $0 = Nh(n)$ であるので，$h(n)=0$ が従う。
注意
定義の条件 2 は他の条件から導かれるものではない（独立である）。条件 2 を取り除くと，極端な例として恒等関数 $\HDTFT\equiv 1/N$ が定義の条件を満たし，性質の 2 が成り立たなくなる。
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