はじめに
無線工学では、電源が駆動する電流分布を所与のものとして、それが生じる電磁界を求めたい状況がよくある。例えばアンテナが放射する電磁界を求める状況がこれに当たる。この記事では電流のフェーザ(phasor)が与えられたときに、それを用いて電界と磁界のphasorを表す式を導出する。
\[
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% 数学
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\]
特筆すべき点
本記事の見所は次の2点であろう。
- 工学系の教科書でありがちなことだが、ベクトルポテンシャル$\phA$とスカラーポテンシャル$\phphi$に制約$\nabla\cdot\phA + j\omega\varepsilon\mu\phphi = 0$を導入しておきながら、$\phA$を電流密度から求めた結果がこの制約を満足することの証明を欠いていることがある。本記事では制約が満足されることを確認する。
- 磁界を電流密度を用いて表す式はどんな教科書にも載っているだろうが、電界については式の複雑さ故に割愛されていると思う。本記事ではこれも導出する。この式があれば、数値積分でグリッドの各点の電界を評価するプログラムを作ることができる。
参考文献
- 熊谷信昭 (2013) 『改訂 電磁理論』コロナ社
- 三瓶政一, 前田忠彦, 岩井誠人, 市坪信一, 宮本伸一, 衣斐信介,岡田実 (2014)『ワイヤレス通信工学』オーム社
文献1は静電磁界の場合のMaxwell方程式の考察があり、phasorに拡張する際の参考にした。この本でphasorの場合も一部扱っているが、成分を限定しているなど、本記事のような一般の場合の記載は無い。文献2はphasor表示されたMaxwell方程式を考察する動機を筆者に与えたものである。ベクトルポテンシャルが満たすべきHelmholtz方程式を導くところまで参考にした。
ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルを用いた電磁界の算出
以下では$\bm{r}$をEuclid空間上の点に対応する位置ベクトルとし、その大きさを$r := \norm{\bm{r}}_2$とする。また、微分しようとする物理量は必要なだけ滑らかであるものと、偏微分の順序は断りなく入れ替える。誘電率$\varepsilon$と透磁率$\mu$は時間,空間に依らず一定かつ等方であるとする。以下では正弦的な時間変化をする物理量$p$に対してそのphasorを$\dot{p}$と表記する。
ここでは電流密度を所与のものとして電磁界を求める。そのような状況は、電源により駆動される電流が生ずる電磁界を求める工学的な問題として興味深い。典型的な例は、アンテナが放射する電磁界を求める問題である。
以下では電流密度は遠方で$1/r^2$よりも速く0に収束するものとする。このように仮定するのは、議論の過程で出現するHelmholtz方程式の解の存在を保証するためである。電荷密度$\rho(\bm{r},t)$は自由ではなく、初期電荷密度$\rho(\bm{r},0)$と電流密度$\bm{J}(\bm{r},t)$により規定される。なぜならば
\[ -\partDeriv{\rho(\bm{r},t)}{t}{} = \nabla\cdot\bm{J}(\bm{r},t) \]より次式が成り立つからである。
\[ \rho(\bm{r},t) = \rho(\bm{r},0) – \integrate{0}{t}{\nabla\cdot\bm{J}(\bm{r},\tau)}{}{\tau} \]よってphasor表示に於いては次式が成り立つ。
\[ \dot{\rho}(\bm{r}) = -\frac{1}{j\omega}\nabla\cdot\phJ \]電界,磁界,電束密度,磁束密度のphasorを$\phE,\phH,\phD=\varepsilon\phE,\phB=\mu\phH,\phJ$とすると、phasor表示されたMaxwell方程式は次式となる。
\begin{align} \nabla\times\phE &= -j\omega\phB \label{phasor_Maxwell_eq_E} \\ \nabla\times\phH &= \phJ + j\omega\phD \label{phasor_Maxwell_eq_H} \\ \nabla\cdot\phB &= 0 \label{phasor_Maxwell_eq_B} \\ \nabla\cdot\phD &= -\frac{1}{j\omega}\nabla\cdot\phJ \label{phasor_Maxwell_eq_D} \end{align}式\eqref{phasor_Maxwell_eq_B}より、次式を満足するベクトルポテンシャル$\phA$が存在する。
\begin{equation} \phB = \nabla\times\phA \label{B_by_curl_A} \end{equation}これを式\eqref{phasor_Maxwell_eq_E}に適用すると次式を得る。
\[ \nabla\times(\phE + j\omega\phA) = \bm{0} \]これより、次式を満足するスカラーポテンシャル$\phphi$が存在する。
\begin{equation} \phE + j\omega\phA = -\nabla\phphi \label{E_by_A_and_grad_phi} \end{equation}式\eqref{B_by_curl_A}を式\eqref{phasor_Maxwell_eq_H}に代入し、式\eqref{E_by_A_and_grad_phi}を用いて整理すると次式を得る。
\[ \nabla\times\nabla\times\phA = \mu\phJ – j\omega\varepsilon\mu\nabla\phphi + \omega^2\varepsilon\mu\phA \]ここで$k := \omega\sqrt{\varepsilon\mu}$とし、Vector Laplacianの定義$\nabla\times\nabla\times\bm{A} =: \nabla\nabla\cdot\bm{A} – \nabla^2\bm{A}$を用いて上式を整理すると次式を得る。
\begin{equation} \left(\nabla^2+k^2\right)\phA = \nabla\left(\nabla\cdot\phA + j\omega\varepsilon\mu\phphi\right) – \mu\phJ \label{pre_Helmholtz_eq_A} \end{equation}式\eqref{phasor_Maxwell_eq_D}に式\eqref{E_by_A_and_grad_phi}を適用して整理すると次式を得る。
\[ \Delta\phphi + j\omega\nabla\cdot\phA = \frac{1}{j\omega\varepsilon}\nabla\cdot\phJ \]両辺に$k^2\phphi = \omega^2\varepsilon\mu\phphi$を加えて整理すると次式を得る。
\begin{equation} \left(\Delta+k^2\right)\phphi = -j\omega\left(\nabla\cdot\phA + j\omega\varepsilon\mu\phphi\right) + \frac{1}{j\omega\varepsilon}\nabla\cdot\phJ \label{pre_Helmholtz_eq_phi} \end{equation}式\eqref{pre_Helmholtz_eq_A}と\eqref{pre_Helmholtz_eq_phi}を同時に満足する$\phA,\phphi$を求める。天下り的ではあるが、今、$\phCalA$と$\phpsi$を次のHelmholtz方程式の解とする。
\begin{align} \left(\nabla^2+k^2\right)\phCalA = -\mu\phJ \label{Helmholtz_eq_phCalA} \\ \left(\Delta+k^2\right)\phpsi = \frac{1}{j\omega\varepsilon}\nabla\cdot\phJ \label{Helmholtz_eq_phpsi} \end{align}解には進行波と後退波の両方があり得るが、ここでは物理的に自然な進行波を仮定する。解は次式となることが知られている。
\begin{align*} \phCalA &= \frac{\mu}{4\pi}\integrate{V_\infty}{}{\frac{\phJp}{\|\bm{r}-\bm{r}’\|}e^{-jk\|\bm{r}-\bm{r}’\|}}{3}{\bm{r}’} \\ \phpsi &= -\frac{1}{j4\pi\omega\varepsilon}\integrate{V_\infty}{}{\frac{\nabla_\bm{r’}\cdot\phJ’}{\|\bm{r}-\bm{r}’\|}e^{-jk\|\bm{r}-\bm{r}’\|}}{3}{\bm{r}’} \end{align*}ここに$\integrate{V_\infty}{}{}{3}{\bm{r}’}$は全空間に渡る体積分を意味する。これが確かに解であることの証明は手元ではやっているのであるが、Diracのデルタ関数を避けて通れないのが好きになれず、記事に纏める欲求が起こらない。ただし式変形自体は美しい。
式\eqref{Helmholtz_eq_phCalA}の両辺の発散をとると
\begin{align*} \nabla\cdot\left(\nabla^2\phCalA + k^2\phCalA\right) &= -\mu\nabla\cdot\phJ \\ \Delta\nabla\cdot\phCalA + k^2\nabla\cdot\phCalA &= -\mu\nabla\cdot\phJ \\ \left(\Delta+k^2\right)\nabla\cdot\phCalA &= -\mu\nabla\cdot\phJ \\ \left(\Delta+k^2\right)\frac{\nabla\cdot\phCalA}{-j\omega\varepsilon\mu} &= \frac{\nabla\cdot\phJ}{j\omega\varepsilon} \\ \end{align*}となり、式\eqref{Helmholtz_eq_phpsi}と同じ形になる。ただし2行目の式の導出にはベクトルLaplacianの発散の公式を用いた。解を進行波に限った上での解の唯一性から
\[ \frac{\nabla\cdot\phCalA}{-j\omega\varepsilon\mu} = \phpsi \quad \therefore \nabla\cdot\phCalA + j\omega\varepsilon\mu\phpsi = 0 \]よって$\phA = \phCalA,\;\phphi = \phpsi$とすれば、これらは式\eqref{pre_Helmholtz_eq_A}と\eqref{pre_Helmholtz_eq_phi}を同時に満足し、次式が成り立つ。
\begin{equation} \nabla\cdot\phA + j\omega\varepsilon\mu\phphi = 0 \label{div_A_and_phi} \end{equation}式\eqref{E_by_A_and_grad_phi}, \eqref{div_A_and_phi}より、電界は$\phA$を用いて次式で表せる。
\begin{equation} \phE = \frac{1}{j\omega\varepsilon\mu}\nabla\nabla\cdot\phA – j\omega\phA \label{E_by_A_and_grad_div_A} \end{equation}電流密度を所与としたときの電磁界の導出
上で与えた$phE,\phB$を$\phJ$を用いて具体的に表す。そうすれば計算機で数値積分して各点での電磁界を求められる。まず磁界を導出する。\eqref{B_by_curl_A}より次式が成り立つ。
\[ \phB = \nabla\times\phA = \nabla\times\frac{\mu}{4\pi}\integrate{V_\infty}{}{\frac{\phJp}{\|\bm{r}-\bm{r}’\|}e^{-jk\|\bm{r}-\bm{r}’\|}}{3}{\bm{r}’} \]$\tilde{\bm{r}} := \bm{r}-\bm{r}’,\;\tilde{r} = \|\tilde{\bm{r}}\|$とすると
\begin{align*} \phB &= \nabla\times\frac{\mu}{4\pi}\integrate{V_\infty}{}{\frac{\phJp}{\tilde{r}}e^{-jk\tilde{r}}}{3}{\bm{r}’} = \frac{\mu}{4\pi}\integrate{V_\infty}{}{\nabla_\bm{r}\times\left(\frac{\phJp}{\tilde{r}}e^{-jk\tilde{r}}\right)}{3}{\bm{r}’} \\ &= \frac{\mu}{4\pi}\integrate{V_\infty}{}{\left(\nabla_\bm{r}\frac{e^{-jk\tilde{r}}}{\tilde{r}}\right)\times\phJp}{3}{\bm{r}’} \end{align*}ただし、最後の式の導出には別の記事で紹介しているベクトルのスカラー関数倍の回転の公式を用いた。ここで
\begin{align*} \nabla_\bm{r}\frac{e^{-jk\tilde{r}}}{\tilde{r}} &= e^{-jk\tilde{r}}\nabla_\bm{r}\frac{1}{\tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}}\nabla_\bm{r}e^{-jk\tilde{r}} = -e^{-jk\tilde{r}}\frac{\tilde{\bm{r}}}{\tilde{r}^3} – \frac{1}{\tilde{r}}jke^{-jk\tilde{r}}\frac{\tilde{\bm{r}}}{\tilde{r}} \\ &= -\frac{e^{-jk\tilde{r}}}{\tilde{r}^2}\left(\frac{1}{\tilde{r}}+jk\right)\tilde{\bm{r}} \end{align*}であるから
\begin{equation} \phB = \frac{\mu}{4\pi}\integrate{V_\infty}{}{\frac{e^{-jk\tilde{r}}}{\tilde{r}^2}\left(\frac{1}{\tilde{r}}+jk\right)\phJp\times\tilde{\bm{r}}}{3}{\bm{r}’} \end{equation}次に電界を導出する。式\eqref{E_by_A_and_grad_div_A}より次式が成り立つ。
\begin{align*} \phE &= \frac{1}{j\omega\varepsilon\mu}\left(\nabla_\bm{r}^2\phA + \nabla_\bm{r}\times\nabla_\bm{r}\times\phA\right) – j\omega\phA \\ &= \frac{1}{j\omega\varepsilon\mu}\left(-k^2\phA – \mu\phJ + \nabla_\bm{r}\times\phB\right) – j\omega\phA \quad (\because \text{\eqref{pre_Helmholtz_eq_A}, \eqref{div_A_and_phi}}) \\ &= -\frac{1}{j\omega\varepsilon}\phJ + j\omega\phA + \frac{1}{j\omega\varepsilon}\nabla_\bm{r}\times\phH – j\omega\phA \\ &= -\frac{1}{j\omega\varepsilon}\phJ + \frac{1}{j\omega\varepsilon}\nabla_\bm{r}\times\phH \\ &= -\frac{1}{j\omega\varepsilon}\phJ + \frac{1}{j4\pi\omega\varepsilon}\integrate{V_\infty}{}{\nabla_\bm{r}\times\left[\frac{e^{-jk\tilde{r}}}{\tilde{r}^2}\left(\frac{1}{\tilde{r}}+jk\right)\phJp\times\tilde{\bm{r}}\right]}{3}{\bm{r}’} \end{align*}上式の被積分関数を計算する。
\[ f(\bm{r},\bm{r}’) := \frac{e^{-jk\tilde{r}}}{\tilde{r}^2}\left(\frac{1}{\tilde{r}}+jk\right), \quad \bm{v}(\bm{r},\bm{r}’) := \phJp\times\tilde{\bm{r}} \]とする。これの回転について次式が成り立つ。
\[ \nabla_\bm{r}\times f(\bm{r},\bm{r}’)\bm{v}(\bm{r},\bm{r}’) = f(\bm{r},\bm{r}’)\nabla_\bm{r}\times\bm{v}(\bm{r},\bm{r}’) + (\nabla_\bm{r}f(\bm{r},\bm{r}’))\times\bm{v}(\bm{r},\bm{r}’) \]まず$\nabla_\bm{r}\times\bm{v}(\bm{r},\bm{r}’)$を計算する。別の記事で紹介している定数ベクトルとの外積の回転の公式より、次式が成り立つ。
\[ \nabla_\bm{r}\times\bm{v}(\bm{r},\bm{r}’) = (\nabla_\bm{r}\cdot\tilde{\bm{r}})\phJp – \diag{1,1,1}\phJp = 3\phJp – \phJp = 2\phJp \]次に$\nabla_\bm{r}f(\bm{r},\bm{r}’)$を計算する。
\begin{align*} \nabla_\bm{r}f(\bm{r},\bm{r}’) &= e^{-jk\tilde{r}}\nabla_\bm{r}\left(\frac{1}{\tilde{r}^3}+\frac{jk}{\tilde{r}^2}\right) + \frac{1}{\tilde{r}^2}\left(\frac{1}{\tilde{r}}+jk\right)\nabla_\bm{r}e^{-jk\tilde{r}} \\ &= e^{-jk\tilde{r}}\left(-3\frac{\tilde{\bm{r}}}{\tilde{r}^5} – 2jk\frac{\tilde{\bm{r}}}{\tilde{r}^4}\right) + \frac{1}{\tilde{r}^2}\left(\frac{1}{\tilde{r}}+jk\right)(-jk)e^{-jk\tilde{r}}\frac{\tilde{\bm{r}}}{\tilde{r}} \\ &= \frac{e^{-jk\tilde{r}}}{\tilde{r}^3}\left(k^2 – \frac{3jk}{\tilde{r}} – \frac{3}{\tilde{r}^2}\right)\tilde{\bm{r}} \end{align*}さらに次式が成り立つ。
\[ \tilde{\bm{r}}\times\left(\phJp\times\tilde{\bm{r}}\right) = (\tilde{\bm{r}}\cdot\tilde{\bm{r}})\phJp – \tilde{\bm{r}}\cdot\phJp\tilde{\bm{r}} = \tilde{r}^2\phJp – \tilde{\bm{r}}\cdot\phJp\tilde{\bm{r}} \]以上より$\nabla_\bm{r}\times f(\bm{r},\bm{r}’)\bm{v}(\bm{r},\bm{r}’)$は次式である。
\begin{align*} \nabla_\bm{r}\times f(\bm{r},\bm{r}’)\bm{v}(\bm{r},\bm{r}’) &= \frac{2e^{-jk\tilde{r}}}{\tilde{r}^2}\left(\frac{1}{\tilde{r}}+jk\right)\phJp + \frac{e^{-jk\tilde{r}}}{\tilde{r}}\left(k^2 – \frac{3jk}{\tilde{r}} – \frac{3}{\tilde{r}^2}\right)\phJp \\ &- \frac{e^{-jk\tilde{r}}}{\tilde{r}^3}\left(k^2 – \frac{3jk}{\tilde{r}} – \frac{3}{\tilde{r}^2}\right)\tilde{\bm{r}}\cdot\phJp\tilde{\bm{r}} \\ &= \frac{e^{-jk\tilde{r}}}{\tilde{r}}\left(k^2 – \frac{jk}{\tilde{r}} – \frac{1}{\tilde{r}^2}\right)\phJp – \frac{e^{-jk\tilde{r}}}{\tilde{r}^3}\left(k^2 – \frac{3jk}{\tilde{r}} – \frac{3}{\tilde{r}^2}\right)\tilde{\bm{r}}\cdot\phJp\tilde{\bm{r}} \end{align*}以上より$\phE$は電流密度のフェーザを用いて次式で表される。
\begin{align*} \phE &= -\frac{1}{j\omega\varepsilon}\phJ \\ &+ \frac{1}{j4\pi\omega\varepsilon}\integrate{V_\infty}{}{\left[\frac{e^{-jk\tilde{r}}}{\tilde{r}}\left(k^2 – \frac{jk}{\tilde{r}} – \frac{1}{\tilde{r}^2}\right)\phJp – \frac{e^{-jk\tilde{r}}}{\tilde{r}^3}\left(k^2 – \frac{3jk}{\tilde{r}} – \frac{3}{\tilde{r}^2}\right)\tilde{\bm{r}}\cdot\phJp\tilde{\bm{r}}\right]}{3}{\bm{r}’} \end{align*}