\[
% general purpose
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% mathematics
% general purpose
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% set theory
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% number theory
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% analysis
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% complex analysis
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% Laplace transform
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% Discrete Fourier Transform
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% Z transform
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% linear algebra
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% probability theory
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\]
回転行列$R$が与えられたときに、対応する回転ベクトル$\bm{r}$を求める方法を以下に述べる。回転軸の向きと回転方向に任意性があるが、回転ベクトルの向きに時計回りに回転させるものと見做す(つまり$\theta \geq 0$)。
まず、回転ベクトル$\bm{r}$から回転行列$R$への次の変換則(Rodriguesの公式)を既知とする(比較的簡単に導出できる)。
$$ \begin{aligned} \theta &= \|\bm{r}\|_2 \\ \tilde{\bm{r}} &= \begin{cases} \bm{r} / \theta & (\theta > 0) \\ \bm{0} & (\theta = 0) \end{cases} \\ R &= (\cos\theta)I + (1-\cos\theta)\tilde{\bm{r}}\tilde{\bm{r}}^\top + (\sin \theta) \begin{bmatrix} 0 & -\tilde{r}_z & \tilde{r}_y \\ \tilde{r}_z & 0 & -\tilde{r}_x \\ -\tilde{r}_y & \tilde{r}_x & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $$$\mathop{\mathrm{trace}}(R) = 1 + 2\cos\theta$が成り立つので$\cos\theta$が次式で求まる。
$$ \cos\theta = \frac{\mathop{\mathrm{trace}}(R) – 1}{2} $$後で解るが、$\sin\theta = 0$となる場合が厄介なので先に片付けておく。
$\cos\theta = 1$のときは無回転と同じなので$\bm{r} = [0,0,0]^\top$とすればよい。
$\cos\theta = -1$のときは回転ベクトルの向きに任意性があるが、$\pi$回転と見做す。回転軸を求めるには、適当なベクトル$\bm{v}_1$を$R$で回転させて$\bm{v}_2 = R\bm{v}_1$とし、$\tilde{\bm{r}} = (\bm{v}_1 + \bm{v}_2)/\|\bm{v}_1 + \bm{v}_2\|_2$とする。しかし$\bm{v}_1$として回転軸に垂直なものを選んでしまうと$\bm{v}_1 + \bm{v}_2 = \bm{0}$となり都合が悪い。そこで、$\bm{v}_1$として$x,y,z$各軸方向の単位ベクトル$\bm{i}_x, \bm{i}_y, \bm{i}_z$を試す。これらのうち少なくとも1つは回転軸と垂直でない(垂直度合が低いほど内積の絶対値が大きい。$\langle\bm{r},\bm{i}_x\rangle = r_x, \langle\bm{r},\bm{i}_y\rangle = r_y, \langle\bm{r},\bm{i}_z\rangle = r_z$であり、$\|\bm{r}\|=1$の下で$\max\{r_x^2,r_y^2,r_z^2\}$を最小化する問題の解の目的関数値は$1/3$なので、必ず都合の良いベクトルが見つかる)から、$\|\bm{v}_1 + \bm{v}_2\|_2$が最大となるものを$\bm{v}_1$として採用する。そして$\bm{r} = \pi\tilde{\bm{r}}$とする。
$\cos\theta \neq \pm 1$のとき$\sin\theta \neq 0$である。次式が成り立つ。
$$ (\sin \theta) \begin{bmatrix} 0 & -\tilde{r}_z & \tilde{r}_y \\ \tilde{r}_z & 0 & -\tilde{r}_x \\ -\tilde{r}_y & \tilde{r}_x & 0 \end{bmatrix} = \frac{R – R^\top}{2} $$これより次のベクトルを計算できる。
$$ \tilde{\bm{r}} = \frac{(\sin\theta)[\tilde{r}_x, \tilde{r}_y, \tilde{r}_z]^\top}{\|(\sin\theta)[\tilde{r}_x, \tilde{r}_y, \tilde{r}_z]^\top\|_2} = \mathop{\mathrm{sgn}}(\sin\theta) [\tilde{r}_x, \tilde{r}_y, \tilde{r}_z]^\top $$$\tilde{\bm{r}}$と平行でない適当なベクトルから$\tilde{\bm{r}}$方向の成分を除去して規格化して$\tilde{\bm{r}}$と垂直な大きさ1のベクトル$\bm{v}_1$を作る。具体的には、前述の$\bm{i}_x, \bm{i}_y, \bm{i}_z$を試して、$\tilde{\bm{r}}$との内積の絶対値が最小のものを用いて$\bm{v}_1$を作る。$\bm{v}_1$を$R$で回転させて$\bm{v}_2 \coloneqq R\bm{v}_1$とする。$\sin \theta$の符号で場合分けすると解るが、$\bm{v}_1\times\bm{v}_2$は$\tilde{\bm{r}}$と同じ向きになり、両者の内積が$|\sin\theta|$となる。$\sin\theta$の符号は確定できないが、$\psi \coloneqq \mathop{\mathrm{atan2}}(|\sin\theta|,\cos\theta)$として$\bm{r} = \psi\tilde{\bm{r}}$とすれば、$R$と同じ回転結果を導く、回転角度が0超過$\pi$未満であるような回転ベクトルを求めたことになる。
Python3による実装
import math
import numpy as np
def rotVec2rotMat(r: np.ndarray) -> np.ndarray:
assert r.shape == (3,1)
dataType = r.dtype
theta = np.linalg.norm(r)
if theta < np.deg2rad(0.001):
return np.identity(3, dtype=dataType)
r_ = r/theta
rx, ry, rz = r_.T[0]
term3 = np.array(
[
[0, -rz, ry],
[rz, 0, -rx],
[-ry, rx, 0]
],
dtype=dataType
)
return math.cos(theta)*np.identity(3) + (1-math.cos(theta))*np.inner(r_, r_) + math.sin(theta)*term3
def rotMat2rotVec(R: np.ndarray) -> np.ndarray:
assert R.shape == (3,3)
dataType = R.dtype
cos_theta = 0.5*(R.diagonal().sum()-1.0)
# case: nearly 0 rotation
if abs(1.0 - cos_theta) < np.deg2rad(0.001):
return np.array([[0,0,0]], dtype=dataType).T
I = np.identity(3, dtype=dataType)
n_1 = I[:,0]
n_2 = I[:,1]
n_3 = I[:,2]
# case: nearly pi rotation
if abs(1.0 + cos_theta) < np.deg2rad(0.001):
m_1 = R[:,0]
m_2 = R[:,1]
m_3 = R[:,2]
v_1 = n_1 + m_1
v_2 = n_2 + m_2
v_3 = n_3 + m_3
norm1 = np.linalg.norm(v_1)
norm2 = np.linalg.norm(v_2)
norm3 = np.linalg.norm(v_3)
v_and_norms = ((v_1, norm1), (v_2, norm2), (v_3, norm3))
v_and_norms_sorted = sorted(v_and_norms, key=lambda x: -x[1])
r = math.pi * v_and_norms_sorted[0][0] / v_and_norms_sorted[0][1]
return np.array([r], dtype=dataType).T
# case: theta is not multiple of pi
R2 = R - R.T
r_tilde2 = np.array([R2[2,1], R2[0,2], R2[1,0]], dtype=dataType)
r_tilde = r_tilde2 / np.linalg.norm(r_tilde2)
inprod_1 = np.inner(r_tilde, n_1)
inprod_2 = np.inner(r_tilde, n_2)
inprod_3 = np.inner(r_tilde, n_3)
n_and_inprods = ((n_1, inprod_1), (n_2, inprod_2), (n_3, inprod_3))
n_and_inprods_sorted = sorted(n_and_inprods, key=lambda x: x[1]**2)
n_good, inprod_good = n_and_inprods_sorted[0]
v_1_temp = n_good - inprod_good*r_tilde
v_1 = v_1_temp / np.linalg.norm(v_1_temp)
v_2 = np.matmul(R, v_1).astype(dataType)
v_3 = np.cross(v_1, v_2)
sin_theta = np.inner(r_tilde, v_3)
theta = math.atan2(sin_theta, cos_theta)
return np.array([theta*r_tilde], dtype=dataType).T
def test_rotMat2rotVec():
r_temp = np.array([[1],[2],[3]], np.double)
r_temp2 = r_temp / np.linalg.norm(r_temp)
theta = -math.pi/2
r = theta*r_temp2
R = rotVec2rotMat(r)
print('R:\n', R)
r_hat = rotMat2rotVec(R)
print('r_hat:\n', r_hat)
R_hat = rotVec2rotMat(r_hat)
print('R_hat:\n', R_hat)
test_rotMat2rotVec()
# R:
# [[ 0.07142857 0.94464087 -0.32023677]
# [-0.65892658 0.28571429 0.69583267]
# [ 0.7488082 0.16131019 0.64285714]]
# r_hat:
# [[-0.41981298]
# [-0.83962595]
# [-1.25943893]]
# R_hat:
# [[ 0.07142857 0.94464087 -0.32023677]
# [-0.65892658 0.28571429 0.69583267]
# [ 0.7488082 0.16131019 0.64285714]]